domenica, marzo 30, 2008

Frattali fluviali e il dilemma geometrico.


Resteremmo molto sorpresi se, lanciando il contenuto di un pacchetto di fiammiferi in aria, questi ricadendo sul pavimento formassero la figura di un triangolo ad ogni lancio. Altrettanto stupiti saremmo se ogni volta che rovesciamo un barattolo di zucchero sul tavolo questo si disponesse a formare un cerchio, oppure un'ellisse.
Naturalmente non ci accadrà mai di assistere ad un simile fenomeno, anche se sul piano probabilistico non si potrebbe escludere che accada.
Ma immaginiamo che dovesse accadere qualcosa del genere tutte le volte che ripetiamo l'esperimento, che sia il lancio dei fiammiferi o il rovesciamento dello zucchero da un barattolo.
Assistendo al ripetersi sistematico del fenomeno, concluderemmo necessariamente che vi è un sistema di leggi fisiche misteriose che sovrintende a quegli eventi. In un siffatto Universo dove accadono queste cose bizzarre, un giorno potrebbe nascere lo studioso di turno che giunge a formulare le leggi fisiche del moto peculiare dei fiammiferi o dei grani di zucchero, e tali leggi spiegherebbero il disporsi così regolare delle parti dopo la caduta.
Il punto che voglio mettere in luce sta qui: se lo zucchero rovesciato si dispone a caso ogni volta, allora nulla questio: le leggi classiche della fisica ci bastano. Lo stesso se i fiammiferi si sparpagliano sul pavimento nei modi più vari ogni volta che ci viene lo schiribizzo di fargli fare un volo. Se invece, lo zucchero o i fiammiferi, assumono cadendo una forma ordinata, regolare, come la familiare geometria di un cerchio o di un triangolo, allora le leggi fisiche note non ci possono più essere sufficienti, ma dobbiamo cercare una spiegazione ulteriore, dato che vi è necessariamente un processo fisico sconosciuto che governa questo continuo disporsi delle cose. Ciò anche se il cerchio ed il triangolo avessero di volta in volta dimensioni diverse: un cerchio più ampio una volta, più piccolo un'altra, un triangolo isoscele una volta, scaleno quella dopo.
Questo perché le forme geometriche hanno delle proprietà specifiche che il nostro occhio e il nostro cervello non mancano di riconoscere. Un cerchio è tale perché ciascun punto della circonferenza ha la medesima distanza dal centro. Un triangolo è quel luogo geometrico individuato da tre segmenti di retta che congiungono tre punti di un piano non allineati. Il fatto stesso di aver potuto descrivere queste figure geometriche con poche parole che ne definiscono le proprietà in modo completo, permettendo di riprodurne ad inifinitum, ci permette di affermarne il loro grado di complessità o, se vogliamo, di semplicità, col significato attribuito da Chaitin alla complessità computazionale. Avremmo probabilmente bisogno di pagine e pagine per poter spiegare in che modo si dispongono i fiammiferi al suolo dopo ogni volo - nella teoria di Chaitin questo vorrebbe dire che il processo è (almeno tendenzialmente) casuale.
Ma lasciamo da parte Chaitin, che mi è servito solo per stressare ulteriormente il fatto che una determinata figura geometrica è un oggetto concettuale le cui proprietà sono facilmente individuabili in termini di relazioni tra le parti e tra queste ed il tutto.
Passiamo invece ad osservare i sistemi fluviali reali: a partire dagli ultimi anni '80 si è constatato che quelli che apparentemente sembrano grovigli di effluenti e affluenti ramificati in forme complessissime, rispecchiano una morfologia frattale: un frattale è un oggetto in cui si possono individuare specifiche proprietà che mettono in rapporto le parti tra loro e le parti con il tutto. E' quindi a tutti gli effetti un oggetto geometrico al pari del cerchio e del triangolo, per quanto i frattali siano stati scoperti molto più recentemente.
In termini statistici, possiamo dire che una rete fluviale è tipicamente caratterizzata da una legge della potenza che stabilisce le relazioni tra il numero di segmenti fluviali che attingono acqua da un bacino di 10, 20, 30 km quadrati e via crescendo: al raddoppiare delle dimensioni del bacino idrologico di riferimento, il numero di segmenti di rete fluviale diminuisce di un fattore sempre costante. Si veda questa recente pubblicazione per dettagli e referenze. Queste proprietà sono state evidenziate in molti grandi reti fluviali del pianeta, tanto da poter stabilire che questa è una proprietà di questi sistemi.
La formazione di una rete fluviale è un processo ininterrotto che subisce l'influenza di un gran numero di fattori, dalla erosione delle rocce, alla orografia del territorio, alla permeabilità degli strati geologici, alle dinamiche meteorologiche locali e regionali, solo per citarne alcuni: un processo talmente articolato e con talmente tante variabili che mi fa venire in mente il lancio dei fiammiferi o il rovesciamento dello zucchero.
Eppure ogni rete fluviale che si forma ha le stesse caratteristiche geometriche: proprietà queste che evidentemente le sole leggi geofisiche non bastano a spiegare. Geometrie frattali sono state riscontrate in molti altri fenomeni o processi naturali oltre ai sistemi fluviali: segnalo qui una rassegna celebre, quella di Mandelbrot.

3 commenti:

Peter ha detto...

@ Stefano

Navigando tra blog +/- scientifici ho trovato il link su questo che tratta un argomento che mi interessa moltissimo.
Non ho avuto il modo di leggere ancora i tuoi post precedenti, mi limito a fare un'osservazione su quest'ultimo.
Mi sembra di capire che tu consideri i fenomeni “zucchero sul tavolo” e “fiammiferi in aria” che sarebbero governati dalla fisica classica, differenti dalla formazione delle reti fluviali etc..., che danno luogo a geometrie frattali e che sarebbero governati da una fisica “diversa”.
Se è veramente questo che intendevi, volevo farti notare che non serve invocare una fisica “diversa” per comprendere la formazione di geometrie frattali.
La formazione di geometrie frattali e legata ai termini non lineari - come il nome di questo blog - che sono necessari nella descrizione di tanti fenomeni naturali, termini che di solito nella fisica che viene insegnata a scuola vengono trascurati perché trascurabili nelle situazioni ideali che vengono a scuola presentate come esempi (il piano inclinato senza attrito, l'orbita di un solo pianeta attorno al sole...) ma che sono appunto ideali è quindi paradossalmente “innaturali”, per quanto utili a comprendere alcune leggi fondamentali della natura.
In innumerevoli casi naturali, come le formazione di reti fluviali i termini non lineari sono invece importanti, e si manifestano tramite la geometria frattale, ma senza violare i principi della fisica classica!
Probabilmente anche nei fenomeni “zucchero sul tavolo” e “fiammiferi in aria” vi è qualche termine non lineare e non escluderei qualche forma di autosimilitudine (caratteristica dei frattali) anche in questi esempi, anche se a noi magari non così evidente come le anse dei fiumi.

ciao

Peter

alessandro cordelli ha detto...

caro stefano:
ti ringrazio per il commento. Ho aggiunto una breve risposta cercando di chiarire in che senso parlo di separazione tra coscienza e corpo.
Saluti
alessandro cordelli

Stefano ha detto...

@ Peter
Temo di non aver stressato a sufficienza nel mio post che le leggi fisiche non sono messe in discussione: il tuo commento me ne offre l'opportunità.
Certamente l'evoluzione dettagliata della dinamica di tutte le componenti (siano essi grani di zucchero o singoli fiammiferi nell'Universo ipotetico, oppure diramazioni e bacini fluviali) è legata alle equazioni fisiche di ciascuno di essi, con tutti gli elementi non lineari del caso, e considerate nelle appropriate scale temporali.
Ma anche scrivendo gli appropriati sistemi di equazioni differenziali, esse non ci direbbero nulla sulla straordinaria geometria prodotta, appunto frattale. Non troveremmo, credo, in quelle equazioni la spiegazione del perchè si manifesta una legge della potenza: questa relazione - "geometrica" nel senso esprime un rapporto tra le parti - non emerge dalle leggi fisiche. Ciò, ovviamente, non vuol dire che quelle leggi siano sbagliate, ma la loro formulazione non ci permette di cogliere un aspetto non secondario del problema: quello geometrico e morfologico.