La fisica insegnata a scuola.

Il mio incontro con il caos deterministico è avvenuto per i miei studi universitari, verso il termine del mio corso di laurea in ingegneria elettronica, e non sapevo allora che quelle idee mi sarebbero rimaste dentro per anni. Naturalmente questa non può essere un'esperienza condivisa da tutti, e sono quasi certo che la maggior parte dei miei colleghi di allora non rimase altrettanto ispirata da quella scoperta.

Il caos ha infranto dentro di me una sorta di corteccia dottrinaria stratificata nel tempo ad opera degli insegnamenti scientifici ricevuti sin dal liceo, e proseguiti poi negli studi della Fisica, della Matematica e delle altre discipline che fanno parte di un normale corso di ingegneria. Aprì uno spiraglio sufficientemente largo da farmi comprendere quanto debole, imperfetta e distante dalla realtà sia ancora la nostra conoscenza della natura, ed ha eliminato con un soffio la certezza che le scienze cosiddette forti fossero la via infallibile verso la verità.

E scusate se è poco.

E' dal 1963 almeno che questa rivoluzione epistemologica è in atto, ben prima che io fossi nato. Nel 1982 quando iniziavo il mio primo corso regolare di Fisica al liceo scientifico le discipline del caos e la matematica non-lineare erano una realtà non più ignorabile per la comunità scientifica, eppure nessun indizio trapelò a noi studenti nè de parte degli insegnanti nè, tantomeno, da parte dei libri di testo. Una pacifica, stabile, rassicurante e deprimente patina di linearità si poggiava su tutti gli argomenti. Quanto sarebbe stato più stimolante a quell'età accedere alla vaga speranza del mondo non-lineare, invece di restare oppressi da un determinismo lineare senza scampo che non lasciava quasi spazio alla fantasia ed alla vita.

Forse allora era ancora troppo presto.

Ma oggi non è più accettabile che le nuove frontiere della matematica e della fisica non siano neanche menzionate in quei "cenni di" che costituiscono una parte cospicua dei programmi di fisica delle scuole superiori. Neppure il programma del liceo scientifico contiene un minimo riferimento.

In questa situazione che francamente mi sembra ormai non più accettabile, ben venga l'iniziativa nata in seno all'Università di Catania di svolgere una serie di seminari nelle scuole superiori all'interno di un progetto formativo dal titolo: Viaggio all'interno dei sistemi complessi tra interdisciplinarità e nuove tecnologie.

Non mi risulta - ma potrei sbagliare - che ci siano iniziative del genere in altre città d'Italia.

Complessità e condizione umana.

Chiunque si accosta alle ricerche sulla Complessità rimane attratto dai profondi risvolti sulla condizione dell'uomo.
Segnalo una lettura molto interessante, chiara e scorrevole di Alessandro Cordelli, pubblicata on-line e disponibile a questo link, che offre diversi e notevoli spunti per una riflessione filosofica.

Ipersemplificazioni sul clima.

Credo che l'attività svolta dal IPCC (International Panel on Climate Change) e la sua stessa esistenza siano una buona notizia per noi tutti: questo istituto, che ha sede in Svizzera, si occupa dello studio dei cambiamenti climatici e fornisce informazioni a supporto delle decisioni per la società, i governi e le istituzioni internazionali.
Nell'attuale contesto di pressing mediatico sull'argomento clima qualcuno potrebbe allora faticare a comprendere le ragioni della cautela dimostrata dal IPCC nell'affermare che le attività umane siano con molta probabilità la causa del cambiamento climatico. La relazione causa-effetto è considerata molto probabile nell'ultimo Rapporto Sintetico per i Decisori Politici del 2007 (disponibile qui), era solo probabile nel precedente rapporto del 2001.
La reazione istintiva è forse di sorpresa: come mai solo molto probabile, quando l'opinione comune è che questo nesso sia ormai certo.

Così non è. L'IPCC raggruppa e analizza risultati di ricerche condotte da diversi enti di ricerca sul pianeta, mettendoli in relazione gli uni con gli altri nell'apprezzabile intento di fornire una visione condivisa degli eventi climatici. Per la massima parte questo è un lavoro effettuato con strumenti statistici, e consiste nella correlazione di dati tra loro. Il risultato statistico fornisce una probabilità che due o più serie di dati siano in relazione tra loro. Il nesso causa-effetto in statistica non è mai certo. Diventa certo quando vi è evidenza sperimentale della fenomenologia, e a quel punto diventa comprensibile quando si riescono a scrivere le equazioni del sistema o almeno si riesce a sviluppare un modello artificiale sufficientemente attendibile del fenomeno.
Questo aspetto viene rilevato da molti scienziati nel mondo che hanno spesso un atteggiamento critico nei confronti dell' IPCC, che è accusato di spacciare per scienza ciò che è soprattutto un dossier di osservazioni e per previsione ciò che non può andare al di là di una proiezione di dati ancora da verificare. Le differenze non sono sottili per chi si occupa seriamente di ricerca scientifica, come il Prof. Guido Visconti che ha pubblicato su Le Scienze le sue critiche all'ultimo rapporto dell'istituto svizzero. In particolare Visconti ha messo in guardia da quelle che lui chiama

ipersemplificazioni dovute all'uso di modelli lineari nell'analisi di fenomeni complessi.

Su questo punto sono d'accordo con lui: oggi la scienza è ancora lontana da una vera comprensione del clima, le lacune del IPCC lo dimostrano. Altro punto su cui sono d'accordo è l'ingiustificato catastrofismo mediatico: se le previsioni oggi non possono essere supportate da veri risultati scientifici, allora le conclusioni che parlano di imminenti catastrofi climatiche sono falsità che millantano un rigore scientifico di cui sono prive.

L'ipotesi con cui ci sentiamo istintivamente più confidenti per via del nostro retaggio culturale è quella dell'esistenza di una "legge del clima" profonda e complessa che sfugge alla nostra comprensione: una nuova legge della natura, le cui equazioni sono alla nostra portata, che tuttavia è ancora intangibile a causa delle limitatezza e imperfezione dei nostri strumenti e della nostra conoscenza scientifica. Qualcosa insomma che appartiene all'insieme delle scoperte scientifiche che certamente si faranno nel (prossimo) futuro.
Perfino in questa cornice, però, dobbiamo pensare che il clima potrebbe essere espressione di un sistema complesso e caotico, il cui spazio di stato è finito ma diviso in più bacini di attrazione frattali o "bucherellati" (riddled), ognuno dei quali afferisce ad un attrattore dinamico diverso dagli altri del sistema. Ne basterebbe uno per far sì che questo sistema esibisse una dinamica assolutamente incomprensibile ai nostri occhi, apparentemente casuale. Con un secondo attrattore ecco che vedremmo dei fenomeni che saltano da una dinamica ad un'altra completamente diversa per una piccola perturbazione, talmente diversa dalla fenomenologia cui siamo abituati da apparirci un cambiamento catastrofico. Questo tipo di dinamica ipotetica è del tutto in linea con quella comune delle cronache dei nostri giorni, sia se si parla di cambiamenti cosiddetti repentini (un uragano, un'alluvione) sia se si parla di cambiamenti a lungo termine (es. global warming).
Questa idea non è neanche una vera ipotesi, tuttavia non può neanche essere esclusa allo stato attuale delle conoscenze sul clima del pianeta. Forse le attività antropiche, giustamente al banco degli imputati, potrebbero avere operato quella perturbazione che adesso sta spostando la dinamica del clima verso un nuovo attrattore.
Ma, ovviamente, perfino questo scenario potrebbe essere ancora irrealisticamente semplice per il sistema dinamico clima terreste: tanto vale allora, in questa situazione di totale incertezza, non operarla proprio una tale perturbazione o correggerla al più presto, perché il nuovo attrattore potrebbe essere assai meno confortevole del vecchio. Su questo punto dovremmo essere tutti d'accordo, compresi IPCC e prof. Visconti.
Quella di comprendere a tal punto la dinamica del clima da poterla controllare, e quindi di adattare artificialmente il clima terrestre alle emissioni antropiche è una via molto pericolosa da seguire visto l'esito così tanto incerto. Bisogna accettare l'ipotesi che non avremo mai un controllo sufficiente su sistemi talmente complessi e assolutamente imprevedibili sulle grandi come sulle piccole scale spaziali e temporali: questo è sicuramente l'approccio più scientificamente sensato.

Strane attrazioni.

Il modo più usato per rappresentare graficamente l'evoluzione di un sistema dinamico è quello di disegnarne la traiettoria nello spazio delle fasi: uno spazio avente tante dimensioni quante sono le variabili di stato (o anche i gradi di libertà) del sistema. Ogni punto di questo spazio rappresenta uno stato ben specifico in cui il sistema stesso si può venire a trovare. Se prendiamo l'esempio del pendolo lo spazio delle fasi potrebbe essere costituito dal piano cartesiano individuato dalle due variabili: angolo rispetto alla verticale e velocità angolare del pendolo.
Non tutti gli infiniti punti dello spazio delle fasi (anche detto spazio dello stato) sono punti possibili per il sistema: anzi la gran parte di essi sono punti impossibili e il sistema non si troverà mai in quegli stati specifici. Matematicamente questo vuol dire che quei punti (intesi come combinazione di variabili di stato) non costituiscono una soluzione del sistema di equazioni differenziali che regge la dinamica.
Se consideriamo l'insieme dei punti possibili del sistema ordinato cronologicamente troveremo che esso disegna una traiettoria nello spazio delle fasi, un po' come se seguissimo il volo di una mosca. Lo studio di queste traiettorie dice moltissimo sui sistemi.
In generale lo sviluppo di una traiettoria dipende dalle stato di partenza, cioè dalle condizioni iniziali.
Lasciato evolvere un sistema normalmente esibisce una dinamica di breve termine, temporanea, detta transitoria, ed una dinamica di lungo termine, detta di regime. Questo regime può essere uno stato nullo (pensiamo ad una molla che si scarica, o ad un pendolo al termine delle oscillazioni se non riceve ulteriori spinte) oppure uno stato stazionario. La corrente in un trasformatore è periodica per un tempo indefinito.
Lo stato stazionario che interessa noi è quello caotico. In questo caso, a condizioni iniziali diverse corrispondono traiettorie diverse, che non si sovrappongono mai e non attraversano mai lo stesso punto. Le traiettorie caotiche sono quindi uno svolgersi infinito di una curva nello spazio delle fasi che non si ripete mai due volte uguale neanche per un tratto piccolissimo.
Dovessimo disegnarla, vedremmo che questa curva non si interseca mai. Se ci pensate, questo fatto è in stretta relazione con l'impredicibilità del caos: nel momento in cui dovesse verificarsi una sovrapposione ecco che avremmo un periodo, perchè da quelo momento in poi la curva riprenderebbe a ripetere sè stessa, dando luogo ad un regime periodico che consente facili predizioni della dinamica.
La bizzarra figura geometrica disegnata da questa traiettoria è chiamata attrattore strano: il nome tradisce la sorpresa di quelli che vedendolo per la prima volta non seppero a quale categoria ricondurre quella dinamica ricca e così la battezzarono. L'insieme di tutti gli stati da cui si sviluppano traiettorie che evolveranno con questa curiosa geometria è chiamato bacino di attrazione dell'attrattore.
Uno stesso sistema caotico può esibire più di un attrattore strano, con bacini di attrazione difficilmente distinguibili uno dall'altro o perfino sovrapposti - ad esempio bacini di attrazione bucherellati, o "riddled basins" in inglese, oppure i bacini di attrazione frattali.
In questi casi, un sistema dinamico a regime potrebbe saltare da un attrattore ad un altro a seconda delle perturbazioni che subisce da agenti esterni. Credo di non riuscire con le parole a rendere neanche un po' la complessità che può emergere da un caso del genere.
Eppure la questione non è puramente teorica, ma molto reale, e riguarda il mondo in cui viviamo parecchio da vicino. Un esempio potrebbe forse essere il clima, che così frequentemente merita l'onore delle cronache in questi anni.

Matematica ancora inadeguata.

I sistemi che ammettono una soluzione sono quelli illustrati nei libri di testo. Essi hanno un comportamento ben definito. Trovandosi di fronte ad un sistema non lineare, gli scienziati cercavano di sostituirgli approssimazioni lineari o di trovare un qualche altro approccio passando per la porta di servizio. I libri di testo illustravano agli studenti solo quei rari sistemi non lineari che si prestano ad essere affrontati con tali tecniche. Tali sistemi non presentano una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Sistemi lineari con un vero caos venivano solo di rado insegnati ed appresi. Quando qualcuno si imbatteva in cose del genere - e talvolta accadeva - tutta la preparazione precedente tendeva a farle ignorare come aberrazioni. Solo poche persone riuscivano a ricordare che le vere aberrazioni erano i sistemi risolubili, ordinati, lineari. Soltanto pochi, cioè, capivano quanto non lineare sia la natura nella propria anima.

Enrico Fermi una volta esclamò: "Nella Bibbia non si dice che tutte le leggi di Natura sono esprimibili linearmente!". Il matematico Stanislao Ulam osservò che chiamare lo studio del caos scienza non lineare era come chiamare la zoologia lo studio degli animali non elefanti.

James Gleick - Caos: la nascita di una nuova scienza.

Cosa è il caos?

Sentiamo spesso dire che il caos deterministico è stato riscontrato in questo o quel fenomeno naturale ormai da più di 20 anni, da quando cioè quasi all'improvviso abbiamo aperto gli occhi su una realtà che avevamo deciso di non osservare, quella dei fenomeni reali non lineari (cioè di quasi tutti i fenomeni reali tout court).
Personalmente uno dei riscontri che mi ha più impressionato è quello del caos nel battito cardiaco umano: in un individuo sano la dinamica del battito cardiaco misurabile con un elettrocardiogramma è caotica, mentra una dinamica regolare è spesso sintomo di una patologia. Anche l'elettroencefalogramma di una persona sana ha dimostrato i tratti caratteristici ed inequivocabili del caos.
Ma cosa vuol dire che si è riscontrato il caos in un fenomeno naturale? Come si stabilisce che un sistema naturale è caotico?
Se di un sistema conosciamo le equazioni allora ci vengono in soccorso gli strumenti dell'analisi matematica, la simulazione al computer che ci permette di studiare come varia il comportamento del sistema al variare dei suoi parametri.
L'insorgenza del caos è sempre preceduta da fenomeni matematici ben individuabili, dei punti di passaggio da comportamenti regolari a comportamenti man mano più articolati: mi riferisco ad esempio al raddoppio di periodo che si succede ad intervalli determinabili e che alla fine sfocia nel caos vero e proprio. Questi percorsi possono essere visualizzati nei diagrammi di biforcazione.
Una caratteristica universale del caos è che il rapporto di convergenza nella sequenza di biforcazioni (la cosiddetta rotta per il caos) che si osserva al variare di un parametro, è quasi costante ed è costante all'infinito. Questo rapporto prende il nome di delta di Feigenbaum, e ci permette di sapere con precisione quando si verificherà la prossima biforcazione in un sistema che evolve verso il caos. Quindi, se osserviamo un rapporto costante e prossimo al delta di Feigenbaum negli intervalli tra una biforcazione e l'altra di una dinamica, abbiamo un indizio importante che quel sistema abbia le caratteristiche del caos in sè e stia evolvendo verso una dinamica caotica per il variare di un suo parametro strutturale (ad esempio la tensione ai capi di un diodo).
Il calcolo dei cosiddetti esponenti di Lyapunov consente di affermare che due traiettorie di stato "vicine" del sistema divergono in media: la conseguenza matematica di questo fatto è la caoticità del sistema (definito dai suoi parametri - per altri parametri lo stesso sistema potrebbe non essere caotico). Questo è naturalmente possibile soltanto se si conoscono le equazioni del sistema, nel qual caso si perviene agli esponenti di Lyapunov per via matematica.
Se invece non conosciamo le equazioni del sistema, allora dobbiamo procedere ad una misurazione della sua dinamica appropriandoci di una serie storica di campioni sufficientemente lunga. Su questa serie misurata possiamo stimare alcuni parametri quantitativi: ancora i coefficienti di Lyapunov, oppure l'entropia di Kolmogorov, o la dimensione frattale, o ancora la dimensione della correlazione. Questi parametri possono dirci se siamo in presenza di caos.
Il caos quindi ha delle tracce ben individuabili, e le sue tracce sono state scoperte in innumerevoli sistemi naturali, sia viventi sia non.

Inversione del campo magnetico terrestre.

Il nostro pianeta possiede un campo magnetico proprio assimilabile a quello di un dipolo magnetico con poli non statici e discostati dai poli geografici di circa 11°.
Il campo magnetico terrestre - o campo geomagnetico - è responsabile della cosiddetta magnetosfera, una sorta di "scudo" magnetico terrestre che si estende nello spazio per diverse decine di migliaia di chilometri e che ha importanti effetti per la sottostante biosfera: ad esempio protegge la Terra dai raggi cosmici e dal vento solare.
Questo campo è oggetto di osservazione da parte dell'uomo solo da pochi secoli, e di misurazione soltanto da qualche decennio. Di esso si sa con certezza che la sua intensità magnetica è variante nel tempo e non-stazionaria, ovvero aperiodica. Wikipedia offre una sintetica ed efficace panoramica sul tema alla voce campo geomagnetico.
Si sa inoltre che questo campo si è spesso invertito nella storia del pianeta, con scambio tra i poli magnetici Nord e Sud. La ragione dell'inversione del campo è ancora incompresa, gli scienziati dibattono vivacemente intorno ad alcune teorie, nessuna delle quali ha ancora trovato un riscontro definitivo. Sono incerti anche gli effetti dell'inversione magnetica per quanto riguarda la vita sulla Terra, anche se non ci sono traccia di estinzioni di massa causate da questi cambiamenti.
C'è un'interessante interpretazione in chiave caotica...

Una di queste teorie si basa sulla descrizione del sistema magnetico terrestre come una grande dinamo (geodinamo in breve), in cui la corrente elettrica è generata dai moti convettivi delle masse fluide che avvolgono in nucleo solido del pianeta - entrambe con grandi contenuti di ferro - e dalle forze di Coriolis legate al movimento del pianeta. La dinamica del campo è quindi effetto della fluido-termodinamica delle masse interne del nostro pianeta che, appunto, si comporta come una dinamo. Un modello ispirato a questa ipotesi - ovviamente deterministico - è stato simulato numericamente su un arco di 300.000 anni ai laboratori americani di Los Alamos con passi di 15 giorni, e la simulazione è accuratamente descritta qui.
Sebbene alcuni ritengano che questo processo sia espressione di un sistema dinamico di ordine elevato (cioè costituito da innumerevoli variabili dinamiche) e perciò randomico, altri vedono in questa dinamica le impronte digitali del caos.
Equivarrebbe a dire che il campo magnetico terrestre deve le sue aperiodiche inversioni di polarità al caos deterministico: le inversioni si ripeteranno ancora ed ancora, non per effetto di cause esterne (es. meteoriti) ma per la dinamica nonlineare intrinseca del pianeta.
La conferma è difficile, dato che a prima vista il caos sembra rumore, sembra cioè generato da un processo stocastico piuttosto che da un sistema deterministico. Io non sarei molto sorpreso che la "via caotica" fosse quella giusta, tuttavia allo stato attuale si può dimostrare la caoticità di una dinamica soltanto per sistemi di ordine ridotto, cioè rappresentabili con poche variabili di stato.