Leggi della potenza (power laws)

C'è molta speculazione intorno alle leggi della potenza, che sembrano fiorire in ogni angolo della conoscenza e che sono spesso associate al tema della complessità. Credo sia indispensabile avere una concezione corretta del tema per comprenderne le implicazioni.
Con questo post mi sforzo di dare una visione introduttiva, incoraggiando chiunque capiti da queste parti a emendare quanto scrivo se dovesse riscontrare inesattezze, o semplicemente arricchirlo con altre informazioni o link utili.
Leggiamo spesso che una distribuzione di probabilità che abbia il profilo di una legge di potenza è del tipo:
P{X>x} = cx^-a
Va chiarito innanzitutto che questa espressione corrisponde alla definizione di funzione di distribuzione cumulativa complementare della variabile aleatoria X, essendo la funzione di distribuzione classicamente definitia come P{X <= x}. Naturalmente, stiamo implicitamente usando la definizione di probabilità come frequenza degli eventi casuali.
Si dimostra che una tale distribuzione di probabilità ha varianza infinita se a<= 2 e media infinita se a > 1.
Questo articolo di Michael Mitzenmacher contiene un'ottima introduzione matematica.

Il significato probabilistico di una distribuzione con il profilo di una legge della potenza è evidente nel fatto che non riusciamo ad individuare media e varianza caratteristici. Una varianza infinita è intuibile nel profilo della distribuzione, in cui gli eventi "grandi" (ovvero corrispondenti a grandi valori di X) sono pochi o pochissimi, mentre la maggior parte degli eventi si trova appiattita sui piccoli valori. Non si riesce a trovare un valore caratteristico, e non si riesce a trovare una scala caratteristica, ma si manifesta un fattore costante nel passaggio da una scala ad un'altra. A quest'ultima proprietà si è dato il nome di invarianza di scala: essa ha un ruolo assai rilevante nella caratterizzazione dei sistemi complessi, e, curiosamente, anche del caos deterministico e della geometria frattale.
Questa caratteristica ubiqua ha contribuito ad accrescere l'interesse intorno alle leggi di potenza, non senza fortuna, ma anche a far proliferare leggi di potenza in letteratura pseudo-scientifica. Per una dissertazione critica sulla validità di queste distribuzioni si vedano queste note del fisico statistico prof. Cosma Rahili Shalizi.
Se infatti le leggi della potenza hanno proprietà certamente interessanti e forniscono una base di studio per le dinamiche complesse, non è banale poterle dedurre da dati empirici e misure. A chi volesse tentare, eccovi un ottimo kit degli attrezzi.