domenica, gennaio 13, 2008

Strane attrazioni.


Il modo più usato per rappresentare graficamente l'evoluzione di un sistema dinamico è quello di disegnarne la traiettoria nello spazio delle fasi: uno spazio avente tante dimensioni quante sono le variabili di stato (o anche i gradi di libertà) del sistema. Ogni punto di questo spazio rappresenta uno stato ben specifico in cui il sistema stesso si può venire a trovare. Se prendiamo l'esempio del pendolo lo spazio delle fasi potrebbe essere costituito dal piano cartesiano individuato dalle due variabili: angolo rispetto alla verticale e velocità angolare del pendolo.
Non tutti gli infiniti punti dello spazio delle fasi (anche detto spazio dello stato) sono punti possibili per il sistema: anzi la gran parte di essi sono punti impossibili e il sistema non si troverà mai in quegli stati specifici. Matematicamente questo vuol dire che quei punti (intesi come combinazione di variabili di stato) non costituiscono una soluzione del sistema di equazioni differenziali che regge la dinamica.
Se consideriamo l'insieme dei punti possibili del sistema ordinato cronologicamente troveremo che esso disegna una traiettoria nello spazio delle fasi, un po' come se seguissimo il volo di una mosca. Lo studio di queste traiettorie dice moltissimo sui sistemi.
In generale lo sviluppo di una traiettoria dipende dalle stato di partenza, cioè dalle condizioni iniziali.
Lasciato evolvere un sistema normalmente esibisce una dinamica di breve termine, temporanea, detta transitoria, ed una dinamica di lungo termine, detta di regime. Questo regime può essere uno stato nullo (pensiamo ad una molla che si scarica, o ad un pendolo al termine delle oscillazioni se non riceve ulteriori spinte) oppure uno stato stazionario. La corrente in un trasformatore è periodica per un tempo indefinito.
Lo stato stazionario che interessa noi è quello caotico. In questo caso, a condizioni iniziali diverse corrispondono traiettorie diverse, che non si sovrappongono mai e non attraversano mai lo stesso punto. Le traiettorie caotiche sono quindi uno svolgersi infinito di una curva nello spazio delle fasi che non si ripete mai due volte uguale neanche per un tratto piccolissimo.
Dovessimo disegnarla, vedremmo che questa curva non si interseca mai. Se ci pensate, questo fatto è in stretta relazione con l'impredicibilità del caos: nel momento in cui dovesse verificarsi una sovrapposione ecco che avremmo un periodo, perchè da quelo momento in poi la curva riprenderebbe a ripetere sè stessa, dando luogo ad un regime periodico che consente facili predizioni della dinamica.
La bizzarra figura geometrica disegnata da questa traiettoria è chiamata attrattore strano: il nome tradisce la sorpresa di quelli che vedendolo per la prima volta non seppero a quale categoria ricondurre quella dinamica ricca e così la battezzarono. L'insieme di tutti gli stati da cui si sviluppano traiettorie che evolveranno con questa curiosa geometria è chiamato bacino di attrazione dell'attrattore.
Uno stesso sistema caotico può esibire più di un attrattore strano, con bacini di attrazione difficilmente distinguibili uno dall'altro o perfino sovrapposti - ad esempio bacini di attrazione bucherellati, o "riddled basins" in inglese, oppure i bacini di attrazione frattali.
In questi casi, un sistema dinamico a regime potrebbe saltare da un attrattore ad un altro a seconda delle perturbazioni che subisce da agenti esterni. Credo di non riuscire con le parole a rendere neanche un po' la complessità che può emergere da un caso del genere.
Eppure la questione non è puramente teorica, ma molto reale, e riguarda il mondo in cui viviamo parecchio da vicino. Un esempio potrebbe forse essere il clima, che così frequentemente merita l'onore delle cronache in questi anni.


3 commenti:

Infinito ha detto...

queso blog è veramente interessante...

pongo un quesito. Ma come mai una intersezione produrrebbe la nascita di un periodo? ..non potrebbe passare dallo stesso stato ed evolvere caoticamente?

Stefano ha detto...

La traiettoria nasce da un punto dello spazio di stato, detto "condizione iniziale del sistema". Tutto il futuro della traiettoria (per un dato sistema) è legato alla condizione iniziale. Una traiettoria puoi anche pensarla come il susseguirsi infinito di punti ognuno dei quali può essere una "condizione iniziale" per il successivo svolgersi della traiettoria.
Se una traiettoria intersecasse sè stessa, il punto di intersezione sarebbe una "condizione iniziale" destinata a ripetersi ciclicamente nella dinamica, che quindi sarebbe periodica.
Questa è una spiegazione intuitiva. Se vuoi approfondire, ti rimando al Teorema di Non Intersezione che fornisce la prova matematica.

infinito ha detto...

si, ho capito.. la tua spiegazione è stata molto esustiva!