domenica, febbraio 17, 2008

Breve navigazione tra caos, caso e complessità.


La matematica del caos è ben lungi dall'essere matura e sufficientemente sviluppata da potersi applicare a sistemi di grandi dimensioni. Ciononostante essa entra di diritto nel novero delle dottrine che formano il corpus in evoluzione della cosiddetta teoria della complessità. Storicamente, si potrebbe dire che ne sia la progenitrice.
Apparentemente le due discipline hanno poco in comune. I sistemi caotici dei quali si conoscono le equazioni differenziali sono tutto sommato pochi, e tutti si possono dire semplici, nel senso che hanno pochi gradi di libertà - il famoso sistema di Lorenz ne ha soltanto tre, ad esempio. Questo è probabilmente dovuto agli ambiti di studio in cui i sistemi noti in letteratura sono stati sviluppati, perchè i principi del caos sembrano facilmente applicabili anche per sistemi di grandi dimensioni, con molti gradi di libertà, ovvero con parecchie variabili di stato. L'analisi delle misurazioni effettuate lascia infatti pensare che anche sistemi ipoteticamente di grandi dimensioni possano avere in sè una natura caotica (vedi il caso della geodinamo).
La teoria della complessità è nata dalle riflessioni intorno a sistemi con molte dimensioni, quando non addirittura infinite. Quest'ultimo è però un caso a sè, per i risvolti teorici e matematici di cui è pregno: un sistema che avesse infinite dimensioni, o infinite variabili di stato, avrebbe bisogno di un'informazione infinita per essere descritto. Infatti ogni variabile di stato è indipendente da tutte le altre, ed un sistema che abbia infinite variabili di stato potrebbe contenere dentro sè un'informazione infinita, avere una dinamica infinitamente estesa. Probabilmente un sistema del genere sarebbe un sistema del tutto casuale.
Se un sistema di piccole dimensioni (come quello di Lorenz, o come un altro sistema caotico noto in letteratura scientifica) può avere una dinamica talmente articolata, varia e irregolare da poter ben essere scambiato per un sistema casuale, figuriamoci allora quanto può essere sorprendentemente variegata, in teoria, la dinamica di un sistema non-lineare con un grande numero di variabili di stato, ovvero con uno spazio di stato con molte dimensioni. A questo punto non ci dovremmo stupire di una cosa del genere, avendo già osservato cose mirabolanti in sistemi ben più piccoli.
La sorpresa invece viene, nel caso di questi sistemi che possiamo ben dire complessi, quando osserviamo un comportamento del tutto ordinato e regolare, ladove ci saremmo invece aspettati un turbolento disordine sovrano e indomabile. Sarebbe il caso di fare degli esempi, lo so: mi farò perdonare in uno dei prossimi post.
Il russo premio Nobel per la fisica Lev Landau, cui sono dovuti importanti studi seminali sulla turbolenza, attribuiva questa fenomenologia al sommarsi di infinite frequenze o modi nella dinamica di un fluido, in questo modo riflettendo l'idea che i comportamenti complessi dovessero essere generati da sistemi complessi caratterizzati da un gran numero, tendente ad infinito, di gradi di libertà. Oggi sappiamo che aveva torto, che una dinamica complessa può essere figlia di un sistema semplice come quello di Lorenz, e che un sistema complesso può avere una dinamica sorprendentemente regolare.
Se la teoria del caos si occupa dello studio del comportamento irregolare (o complesso) di piccoli sistemi, la teoria della complessità - ammesso che si possa individuarne un perimetro definito - si è concentrata soprattutto sullo studio del comportamento ordinato e organizzato di grandi sistemi (in ciò complessi).
Naturalmente, nessuna sorpresa che un sistema complesso possa avere anche una dinamica complessa.
A mio modo di vedere, anche un sistema "semplice" che manifesti un comportamento caotico può essere definito complesso, perchè tra un sistema e la sua dinamica il legame è molto stretto, ammesso che si possa fare una distinzione.

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