L'auto-organizzazione nell'era del P2P.

Se lasciassimo che ogni computer stabilisca delle connessioni con altri secondo gli obiettivi individuali dei rispettivi proprietari, ovvero la ricerca di contenuti digitali rispondenti ai rispettivi gusti personali o interessi culturali, avremmo avviato la formazione di una rete peer-to-peer.
Questo è pacifico. Meno immediato è che una rete siffatta si costituirebbe secondo un meccanismo di auto-organizzazione: una modalità di sviluppo od interconnessione che possiamo ricondurre ad un semplice assunto di base, ovvero la mancanza di un'entità individuale, interna od esterna, che svolga funzioni organizzative, quale un leader, un direttore d'orchestra, un pace-maker, un architetto.

Su Internet, una rete peer-to-peer è un insieme dinamico di relazioni logiche tra computer, nessuno dei quali svolge funzioni organizzative né direttive, e in cui ciascuno partecipa alla rete in condizioni paritetiche rispetto a tutti gli altri.
Il successo delle reti peer-to-peer è ormai consolidato.
Esse sono apparse quasi improvvisamente sul finire degli anni '90, con l'esplosione di Napster e di Freenet: entrambi pionieri della comunicazione peer-to-peer su Internet, questi due modelli di rete differivano in una maniera fondamentale che avrebbe portato ad una successiva classificazione in reti P2P strutturate (Napster) e non-strutturate (Freenet), che essenzialmente differiscono per l'adozione delle Tabelle Hash Distribuite (DHT).
A parte gli aspetti più tecnici sulla differenza tra i due approcci, i successi iniziali furono presto emulati dalle reti P2P che sono apparse sulla scena: Gnutella, Kazaa, BitTorrent, eDonkey, Kademlia. La comunicazione usata da eMule (il client P2P più popolare dal 2004) utilizza entrambi i meccanismi, a testimonianza del fatto che questa tecnica di comunicazione ha intrapreso una fase di ibridazione.
Una ben documentata e dettagliata esposizione delle reti peer-to-peer, con le tecniche e gli algoritmi relativi, è disponibile in questa Survey and Comparison of Peer-to-Peer Overlay Network Schemes.
Praticamente tutte le reti P2P lì descritte sono sistemi costruiti da nodi peer che si auto-organizzano applicando ciascuno localmente le regole dettate dai protocolli di comunicazione che regolano la rimozione e l'aggiunta di nodi, i meccanismi di ricerca dei dati e di instradamento delle informazioni.
Alcune ricerche hanno mostrato che le reti peer-to-peer sono complesse, ovvero rispondono ad una o entrambe le seguenti definizioni:
- sono reti small-world;
- sono caratterizzate da una legge della potenza.
Ad esempio, questo articolo riguarda una rete realizzata con Gnutella, e ne inferisce le caratteristiche power-law, mentre un altro studio ne individua le proprietà small-world.
A questo punto diventa verosimile la conclusione che le reti peer-to-peer sono tutte reti distribuite secondo una legge di potenza, o almeno reti small-world. E diventa anche lecito il sospetto che tutte le reti auto-organizzati siano anche esse caratterizzate da distribuzioni dello stesso tipo, e dalle proprietà di piccolo mondo.
Infatti, altri studi sono arrivati alle stesse conclusioni anche per altre reti overlay: il world wide web, la topologia di Internet (al livello di Autonomous System), le reti delle e-mail, le direttrici di traffico in Sardegna, le chiamate telefoniche: tutte reti che evidenziano un carattere power-law, o ad invarianza di scala.
Cosa hanno in comune tutte queste reti?
- sono artificiali (in contrapposizione con quelle naturali: ingegneria vs. evoluzione).
- sono auto-organizzate, cioè frutto di una dinamica collettiva agente dal basso;
- sono in qualche relazione con le dinamiche legate agli utenti umani.
Se per il web, la topologia Internet, le e-mail e le chiamate telefoniche è ipotizzabile che l'organizzazione della rete sia influenzata o, di più, rifletta quella della rete sociale umana sovrastante, lo stesso non è possibile fare per le reti P2P, in cui è invece un algoritmo distribuito che agisce sulla base di informazioni locali a tessere la complessa tela delle connessioni. Quel meccanismo, per quanto di origine artificiale, non realizza le reti sulla base delle connessioni sociali che tali reti usano.

E' riconosciuto che il processo di formazione della topologia di una rete P2P non è del tutto compreso, per quanto esso sia basato su meccanismi ben individuabili: di certo, non è spiegato perché sistematicamente emergano per queste reti le caratteristiche delle reti complesse.

Per questa ragione l'esempio delle reti peer-to-peer è molto rappresentativo per i temi dell'auto-organizzazione, delle proprietà emergenti dei sistemi e delle loro relazioni con le reti complesse.

Un inno alla biodiversità.

Tra il 200o ed il 2001 alcune indagini condotte su alcuni ecosistemi localizzati ha rivelato che essi corrispondono a piccoli mondi con pochi gradi di separazione tra le singole specie che ne fanno parte, in cui la distribuzione delle specie ordinate secondo il rispettivo grado di interconnessione all'interno della catena alimentare segue una legge della potenza.

Gli ecosistemi, quindi, sono davvero come le reti sociali e l'ottica di piccolo mondo consente di comprendere meglio quanto siano produttivi i legami deboli sotto il profilo ecologico. Una specie con funzioni di hub ha con le altre specie un gran numero di connessioni che, proprio in quanto numerose, sono perlopiù deboli: le due specie interagiscono di rado. Poichè i connettori possiedono una così alta percentuale delle connessioni di rete, la maggior parte delle connessioni della catena alimentare è debole; in altre parole, la preponderanza dei legami deboli in un ecosistema è la diretta conseguenza della struttura di piccolo mondo del sistema. Questa struttura rappresenta di per sè la valvola di sicurezza biologica che contribuisce a ridsitribuire l'alterazione e impedisce ad una specie di annientare un'altra predandola o competendo con essa in maniera incontrollata.
In tal senso la struttura di piccolo mondo di tipo aristocratico costituisce una naturale fonte di sicurezza e stabilità per gli ecosistemi del mondo.
[...] Se gli ecosistemi sani sono piccoli mondi caratterizzati da hub e se i legami deboli forniscono loro stabilità, la riduzione globale del numero di specie è una prospettiva molto allarmante; più specie scompaiono, infatti, più quelle restanti alla fine [...] interagiscono in maniera più forte.
[...] Poichè nessun organismo è mai lontano dagli altri, è difficile per una specie , ovunque essa viva, rimanere a lungo insensibile agli effetti dell'attività umana.

Mark Buchanan - Nexus.

La complessità degli ecosistemi è fonte di stabilità: l'impatto delle attività antropiche può avere effetti destabilizzanti e la riduzione della biodiversità può nuocere gravemente agli equilibri naturali. Tutto questo viene gridato da ogni dove spesso con toni infondatamente apocalittici - tuttavia vi è una base scientifica non ignorabile, che seppure non permetta di prevedere il futuro ci deve comunque mettere in guardia dai pericoli verso cui corriamo quando intraprendiamo come collettività azioni i cui effetti su scala ambientale non possiamo a controllare.

Autorganizzazione, evoluzione, progettazione, storia: le molte cause delle leggi di potenza, le molte facce della complessità.

L'autorganizzazione è un processo spontaneo perfettamente plausibile in sistemi di elementi interagenti, quindi organizzati a rete, di tipo autonomo, in cui cioè l'intervento esterno non c'è oppure è limitato alla regolazione di un parametro strutturale che inneschi il processo auto-organizzativo. Gli esempi classici sono innumerevoli: l'acqua ghiaccia quando la temperatura scende a 0°C, il ferro si magnetizza quando la temperatura scende oltre una soglia critica, una reazione di fissione nucleare è innescata quando le barre di cadmio sono estratte oltre una certa misura fuori dall'uranio arricchito. Altrettanti sono gli esempi in cui non è rintracciabile - o rintracciato - un parametro esterno regolatore: le placche terrestri sono organizzate nello stato critico come dimostrano i fenomeni sismici, un mucchio di riso su cui vengono fatti cadere altri chicchi raggiunge una condizione di criticità oltre la quale un solo chicco aggiuntivo può innesacare una valanga a seconda del punto esatto su cui cade.
L'ubiquità delle leggi della potenza in questi sistemi ha fatto trarre delle conclusioni affrettate, seppure condivise in alcuni settori della comunità scientifica, anche tra i fisici più illuminati protagonisti delle ricerche più significative nel campo delle reti complesse:

[...] le leggi della potenza non sono un modo come un altro per definire il comportamento di un sistema. Sono l'autentico marchio di fabbrica dell'autorganizzazione nei sistemi complessi.

A-L.Barabasi - Link

Si esprimono con maggiore precisione invece altri scienziati dello stesso calibro:

Il fatto è che le leggi di potenza sono l'indizio della possibile presenza di un sistema che si sta autorganizzando. Emergono in corrispondenza delle transizioni di fase, quando un sistema si trova sull'orlo del precipizio, in bilico fra l'ordine e il caos. Emergono nei frattali, quando una parte arbitrariamente piccola di una figura complessa è un microcosmo che riproduce il tutto. Emergono nelle statistiche dei pericoli naturali - valanghe e terremoti, inondazioni e incendi di foreste - le cui dimensioni variano in modo così irregolare da un caso all'altro che un valore medio non può fornire un'indicazione adeguata della distribuzione globale. Ma a dispetto di vent'anni di intensi sforzi, l'origine delle leggi di potenza rimane controversa.
[...] Esistono almeno sette meccanismi fisici distinti che possono generare leggi di potenza. In questo senso l'osservazione sperimentale di una legge di potenza non è, di per sé, una verifica convincente di ogni teoria che predice l'esistenza di una legge di potenza.

Steven Strogatz - Sincronia.

L'ubiquità delle leggi di potenza, celebrata nel volume Ubiquità di Mark Buchanan, non è sempre riconducibile al meccanismo della SOC (self-organized criticality), seppure lo possa essere in alcuni importanti casi.
Mark Buchanan tira in ballo la contingenza storica come meccanismo di base per le comprensione degli stati instabili:

La storia è il frutto non di pochi, bensì di infiniti fattori. Per capirne la possibilità dinamica, occorre quindi ricorrere alla scienza storica dei sistemi in cui interagiscono molti elementi indipendenti. E' questo il campo della fisica statistica del non equilibrio. [...] a compensare la carenza di ordine a livello di singoli eventi intervengono [...] le leggi della potenza [...] che mostrano come a monte di determinati eventi agisca in profondità un processo storico.

Mark Buchanan: Ubiquità.

Internet, il Web, ma anche gli ecosistemi, le cellule, sono sistemi complessi che originano da lenti e complicati processi di progettazione e ottmizzazione (i primi due) e di evoluzione (gli ultimi) che sono comprensibili solo se iscritti in un fitto intreccio di relazioni con i loro ambienti esterni, tanto da renderli a volte quasi indistinguibili da essi: è difficile, infatti, dire dove finisce un eco-sistema, ad esempio. Processi di progettazione ed evoluzione che hanno come scopo la robustezza e l'ottimizzazione nei confronti del proprio ambiente e di eventi incerti ma prevedibili, e che perdurano durante la vita del sistema.
Se, quindi, ci risulta ancora difficile comprendere le cause profonde della criticità auto-organizzata e delle sue universalità, la teoria dello stato HOT ci fornisce una spiegazione convincente del perchè insorgano, nei sistemi complessi ottimizzati ed evoluti, quelle condizioni peculiari strettamente legate alle leggi delle potenza (ipersensibilità a eventi rari, elevate performance in condizioni di progetto, resilienza nei confronti degli eventi previsti o nei confronti dei quali il sistema è evoluto). Se vogliamo, questo segna la demistificazione della teoria SOC.
Concludo segnalando questo ottimo articolo di Mark Newman pubblicato su Nature.

Some like it HOT.

Crescita e aggregazione sono processi storici che, almeno nel caso di sistemi costituiti da molti elementi interagenti, spesso danno luogo a organizzazioni complesse caratterizzate da una legge della potenza della distribuzione degli eventi.
In un mio post precedente (criticità e crescita) ho scritto che lo stato critico è associato sempre ad una legge della potenza, in qualche modo la firma della complessità; ma non possiamo dire il viceversa: leggi della potenza possono essere generate anche in conseguenza di processi diversi da quelli che conducono allo stato critico, dei quali l'esempio più famoso è l'auto-organizzazione nello stato critico (self-organized criticality o SOC).
Un esempio di un processo di crescita ed aggregazione è quello della aggregazione limitata dalla diffusione (DLA), facile da osservare con un semplice esperimento domestico.
Un esempio classico di sistema organizzato nello stato critico è quello del mucchio di sabbia - o meglio di riso - in cui ci sono regioni di geometria frattale che se interessate dalla caduta di un granello danno luogo a frane: le aree di instabilità del mucchio sono frattali, in quanto tali auto-somiglianti e caratterizzate da leggi di potenza.
Entrambi questi esempi sono compatibili con il concetto di auto-organizzazione, ed entrambi manifestano una condizione di criticità - detta appunto stato critico - per cui diventa sensata l'idea di auto-organizzazione nello stato critico. Secondo questa idea sono le stesse proprietà interne del sistema a lasciare emergere spontaneamente, e indipendentemente dall'ambiente circostante, lo stato critico. Detto in altre parole, lo stato critico è un attrattore della dinamica del sistema. Le sole interazioni locali lasciano emergere spontaneamente un'organizzazione globale senza l'influsso di agenti esterni: questo è, probabilmente, il concetto al cuore della SOC.

Tuttavia le leggi di potenza sono state osservate anche in sistemi complessi in cui la crescita e l'aggregazione hanno un ruolo molto meno evidente, ovvero non ne hanno affatto.
Un esempio ormai classico, e forse anche il più studiato, è quello di Internet in quanto sistema complesso, con una serie di corollari che vanno dalle proprietà del traffico dati alla topologia delle pagine Web.
L'associazione tra le leggi di potenza estensivamente osservate in Internet e derivati (Web, traffico) ed il supposto stato critico manifesta delle incongruenze: in primis Internet non può essere spiegata semplicemente in termini di un processo di crescita e aggregazione essendo anche il frutto di uno sviluppo tecnologico ed ingegneristico che non possiamo liquidare come semplicemente spontaneo, alla stregua di un processo DLA; in secundis è discutibile che Internet (o uno dei suoi "derivati") si trovi nello stato critico, nonostante l'abbondante esibizione di leggi di potenza.
Sembra più convincente la spiegazione legata ai processi di progettazione ed ottimizzazione che generano lo stato HOT (highly optimized tolerance) come alternativa allo stato SOC.
Esso è il risultato di processi di progettazione, ingegnerizzazione o evoluzione che predispongono un sistema in modo che esso sia ottimizzato per operare o sopravvivere nel suo ambiente e sia robusto nei confronti delle incertezze attese.
Le caratteristiche che identificano lo stato HOT sono:

1. alta efficienza, performance, robustezza nei confronti delle incertezze verso le quali il sistema è ottimizzato;
2. ipersensibilità verso i difetti progettuali e verso le perturbazioni inaspettate;
3. configurazioni strutturate, non generiche, specializzate;
4. leggi della potenza.

La sola il comune con lo stato SOC è la presenza di leggi della potenza. Diversamente dagli stati SOC, gli stati HOT esistono anche oltre il punto critico, e hanno rendimenti migliori dei loro corrispondenti stati SOC: tutto questo è spiegato nell'articolo seminale di Carlson e Doyle pubblicato qui.

La teoria Highly Optimized Tolerance fornisce una risposta convincente alle domandae fondamentali: perchè emergono le leggi della potenza, e perchè nei sistemi complessi si riscontra frequentemente la predisposizione agli sconvolgimenti in corrispondenza di eventi apparentemente piccoli:

• si può dimostrare con esempi matematici come un processo di ottimizzazione spinta avente per obiettivo la robustezza di un sistema verso incertezze attese o prevedibili dia luogo alla formazione di leggi di potenza;
• questi sistemi esibiscono una ipersensibilità verso eventi non previsti in fase di progettazione (nel caso di sistemi ingegnerizzati) o ignorati nel processo evolutivo perchè troppo rari (nel caso di sistemi biologici o evolutivi).
  

Criticità e crescita.

Seppure oggetto di approfondite riflessioni, la criticità auto-organizzata con il suo manifestarsi dello stato critico in parecchi sistemi anche assai diversi tra loro non trova un'enunciazione che fornisca una spiegazione nè del motivo per cui i sistemi si auto-organizzano nello stato critico, nè dei nessi causa-effetto per cui ad eventi simili corrispondono effetti totalmente dissimili (es. il granello di sabbia che innesca una frana).

Penso di avere posto l'interrogativo in maniera chiara in un post precedente.

Per quanto riguarda il primo quesito (perchè tanti sistemi sono organizzati nello stato critico) possiamo provare a mettere insieme i pezzi del puzzle che abbiamo a questo punto disposto disordinatamente sul tavolo.

Deduciamo la presenza dello stato critico da due cose:

• osservazione di fenomeni (fenomenologia): ad es. notiamo che un certo granello di riso fa franare il mucchio, mentre un altro no.
• registrando e misurando le nostre osservazioni (analisi statistica) ci accorgiamo della presenza di una coda lunga nella distribuzione degli eventi, ovvero di una legge di potenza.

Ma le leggi della potenza hanno un'associazione stretta con le reti complesse di tipo aristocratico, ovvero con quelle reti in cui la connettività è dominata dalla presenza di rari Hub iperconnessi: nel senso che laddove vi è una rete complessa di questo tipo vi è anche una distribuzione con il profilo di una legge di potenza. Affermare anche il viceversa non mi è concesso. Questa associazione mi permette di dire, o almeno ipotizzare, che lo stato critico di un sistema è legato alla presenza di una rete di elementi interagenti in cui la topologia delle relazioni rispecchia una rete complessa di tipo aristocratico: essa rappresenta anche il più diffuso modello di rete risultante da un processo di crescita o aggregazione di elementi, e spiega molte proprietà dell'organizzazione collettiva che ne risulta.

La mia breve riflessione mi porta a rispondere a quella prima domanda in questo modo: lo stato critico si manifesta in quelle organizzazioni frutto di un processo di crescita o aggregazione, e che si possono ricondurre ad una rete di elementi interagenti. Il fatto che questo processo di crescita o aggregazione conduca ad uno stato critico ci fa parlare di auto-organizzazione nello stato critico: in questo senso il sistema si auto-organizza; l'auto-organizzazione nello stato critico non è altro che l'effetto che noi osserviamo di un processo storico di crescita. L'elemento storico consiste nella constatazione che la contingenza e l'accidentalità giocano un ruolo determinante nel processo di crescita, giacchè la variazione di un parametro organizzativo del sistema in crescita porterebbe a risultati diversi fin nei dettagli da quelli che avrebbero potuto essere.

La seconda domanda è più semplice: il perchè effetti diversi conseguono da eventi apparentemente simili risiede nell'instabilità del sistema organizzato nello stato critico. Se si riuscisse a costruire l'albero delle conseguenze di una coppia di eventi comunque scelti (quindi anche assai simili o vicini) tra quelli individuabili per il sistema, si osserverebbe che è sempre possibile trovare due eventi simili che producono risultati assai diversi tra loro. La struttura di questi alberi percorre la rete organizzativa del sistema in modi assai dissimili, ricostruibili soltanto sulla base delle relazioni fisiche esistenti tra gli elementi e delle contingenze storiche cristallizzate nella rete organizzativa. (Una nota a margine: seppure questo concetto non ha niente a che vedere con il caos deterministico propriamente detto, tuttavia non possiamo non notare l'affinità tra questa proprietà dello stato critico e la divergenza delle traiettorie di un sistema caotico.)
Ultima osservazione: un sistema organizzato nello stato critico è un sistema in cui il processo di crescita (da intendersi come trasformazione) non è ancora terminato. Infatti il termine del processo implica, per il sistema, uno stato in cui non si verificano più variazioni, o perchè è finita la sua storia (es. morte del sistema) oppure perchè ha raggiunto una condizione di stabilità: in entrambi i casi in un tale stato la criticità è venuta meno, e quindi il sistema non è più nello stato critico.
Non pretendo di avere dato una risposta esaustiva: mi pare almeno una "pista" lungo cui procedere con le indagini.

Frattali fluviali e il dilemma geometrico.

Resteremmo molto sorpresi se, lanciando il contenuto di un pacchetto di fiammiferi in aria, questi ricadendo sul pavimento formassero la figura di un triangolo ad ogni lancio. Altrettanto stupiti saremmo se ogni volta che rovesciamo un barattolo di zucchero sul tavolo questo si disponesse a formare un cerchio, oppure un'ellisse.
Naturalmente non ci accadrà mai di assistere ad un simile fenomeno, anche se sul piano probabilistico non si potrebbe escludere che accada.
Ma immaginiamo che dovesse accadere qualcosa del genere tutte le volte che ripetiamo l'esperimento, che sia il lancio dei fiammiferi o il rovesciamento dello zucchero da un barattolo.
Assistendo al ripetersi sistematico del fenomeno, concluderemmo necessariamente che vi è un sistema di leggi fisiche misteriose che sovrintende a quegli eventi. In un siffatto Universo dove accadono queste cose bizzarre, un giorno potrebbe nascere lo studioso di turno che giunge a formulare le leggi fisiche del moto peculiare dei fiammiferi o dei grani di zucchero, e tali leggi spiegherebbero il disporsi così regolare delle parti dopo la caduta.
Il punto che voglio mettere in luce sta qui: se lo zucchero rovesciato si dispone a caso ogni volta, allora nulla questio: le leggi classiche della fisica ci bastano. Lo stesso se i fiammiferi si sparpagliano sul pavimento nei modi più vari ogni volta che ci viene lo schiribizzo di fargli fare un volo. Se invece, lo zucchero o i fiammiferi, assumono cadendo una forma ordinata, regolare, come la familiare geometria di un cerchio o di un triangolo, allora le leggi fisiche note non ci possono più essere sufficienti, ma dobbiamo cercare una spiegazione ulteriore, dato che vi è necessariamente un processo fisico sconosciuto che governa questo continuo disporsi delle cose. Ciò anche se il cerchio ed il triangolo avessero di volta in volta dimensioni diverse: un cerchio più ampio una volta, più piccolo un'altra, un triangolo isoscele una volta, scaleno quella dopo.
Questo perché le forme geometriche hanno delle proprietà specifiche che il nostro occhio e il nostro cervello non mancano di riconoscere. Un cerchio è tale perché ciascun punto della circonferenza ha la medesima distanza dal centro. Un triangolo è quel luogo geometrico individuato da tre segmenti di retta che congiungono tre punti di un piano non allineati. Il fatto stesso di aver potuto descrivere queste figure geometriche con poche parole che ne definiscono le proprietà in modo completo, permettendo di riprodurne ad inifinitum, ci permette di affermarne il loro grado di complessità o, se vogliamo, di semplicità, col significato attribuito da Chaitin alla complessità computazionale. Avremmo probabilmente bisogno di pagine e pagine per poter spiegare in che modo si dispongono i fiammiferi al suolo dopo ogni volo - nella teoria di Chaitin questo vorrebbe dire che il processo è (almeno tendenzialmente) casuale.
Ma lasciamo da parte Chaitin, che mi è servito solo per stressare ulteriormente il fatto che una determinata figura geometrica è un oggetto concettuale le cui proprietà sono facilmente individuabili in termini di relazioni tra le parti e tra queste ed il tutto.
Passiamo invece ad osservare i sistemi fluviali reali: a partire dagli ultimi anni '80 si è constatato che quelli che apparentemente sembrano grovigli di effluenti e affluenti ramificati in forme complessissime, rispecchiano una morfologia frattale: un frattale è un oggetto in cui si possono individuare specifiche proprietà che mettono in rapporto le parti tra loro e le parti con il tutto. E' quindi a tutti gli effetti un oggetto geometrico al pari del cerchio e del triangolo, per quanto i frattali siano stati scoperti molto più recentemente.
In termini statistici, possiamo dire che una rete fluviale è tipicamente caratterizzata da una legge della potenza che stabilisce le relazioni tra il numero di segmenti fluviali che attingono acqua da un bacino di 10, 20, 30 km quadrati e via crescendo: al raddoppiare delle dimensioni del bacino idrologico di riferimento, il numero di segmenti di rete fluviale diminuisce di un fattore sempre costante. Si veda questa recente pubblicazione per dettagli e referenze. Queste proprietà sono state evidenziate in molti grandi reti fluviali del pianeta, tanto da poter stabilire che questa è una proprietà di questi sistemi.
La formazione di una rete fluviale è un processo ininterrotto che subisce l'influenza di un gran numero di fattori, dalla erosione delle rocce, alla orografia del territorio, alla permeabilità degli strati geologici, alle dinamiche meteorologiche locali e regionali, solo per citarne alcuni: un processo talmente articolato e con talmente tante variabili che mi fa venire in mente il lancio dei fiammiferi o il rovesciamento dello zucchero.
Eppure ogni rete fluviale che si forma ha le stesse caratteristiche geometriche: proprietà queste che evidentemente le sole leggi geofisiche non bastano a spiegare. Geometrie frattali sono state riscontrate in molti altri fenomeni o processi naturali oltre ai sistemi fluviali: segnalo qui una rassegna celebre, quella di Mandelbrot.

Perchè la criticità?

Dunque la teoria della criticità autorganizzata ci dice due cose:

1. che per molti sistemi in natura lo stato critico è un attrattore assai frequentato della loro dinamica;
2. che, per questi sistemi che si vengono a trovare nello stato critico, non ha senso cercare di risalire alle cause che generano fenomeni di differente intensità, perchè cause del tutto simili possono generare effetti grandemente differenti.

La teoria quindi non ci fornisce una spiegazione nè del motivo per cui i sistemi si auto-organizzano nello stato critico, nè dei nessi causa-effetto per cui a eventi simili corrispondono effetti totalmente dissimili.
La teoria non nega che le relazioni causa-effetto siano di natura fisica e deterministica in ultima analisi, anzi lo da per scontato. Sorvolando su questi aspetti, ci sorprende rilevando che un gran numero di sistemi complessi, diversi fra loro, mostrano caratteristiche statistiche e geometriche affini: la frequenza degli eventi organizzata secondo una legge della potenza e l'invarianza di scala, ovvero la dimensione frattale. Da queste osservazioni lascia discendere un principio di universalità che concerne diverse classi di sistemi, dietro cui deve nascondersi un ordine profondo, non ancora rivelato, anzi appena percepito.
Dicendoci così poco, ci lascia in bocca l'inquietudine del romanzo incompiuto e la voglia di vederci più chiaro: perchè mai tanti sistemi trovano conveniente organizzarsi nello stato critico?

Il caso Bear Stearns e la criticità auto-organizzata.

L'evento viene riportato con i toni del cataclisma non preannunciato:

La caduta di schianto della banca d' affari ha lasciato senza fiato gli operatori per il fatto in sé - le parole più usate per la sua possibile scomparsa sono «impensabile» e «surreale».

Questo è come viene raccontato il fatto sul nostro Corriere della Sera del 15 marzo, ma anche oltreoceano i toni non sono diversi.
In questi giorni fior di cervelli dell'analisi economica si sono sforzati di provare a spiegare quello che sta succedendo.
E se fosse uno sforzo vano? Il dubbio non è campato in aria.
Cambiamenti improvvisi e senza una ragione apparente potrebbero essere legati ad uno stato di cose fortemente instabile ed in continuo cambiamento. E' l'essenza dello Stato Critico, osservato in fisica in diversi sistemi che operano lontano dall'equilibrio termodinamico.
L'esempio dell'acqua riguarda uno stato instabile sull'orlo di una transizione di fase, ma esso è indotto da una regolazione esterna di uno dei parametri fisici (volume, gas, pressione).
Lo stato critico più interessante è quello che sorge spontaneamente, senza l'intervento di una regolazione esterna: allora si parla di Criticità Auto-Organizzata. Esempi ormai classici sono gli ecosistemi, gli incendi boschivi, i terremoti. E tra queste vi è anche l'ipotesi della Borsa:

Secondo le cifre, i crolli improvvisi, lungi dall'essere improbabili, sono praticamente inevitabili. In pieno contrasto con la teoria del mercato efficiente, la matematica ci dice che le forti fluttuazioni delle quotazioni di Borsa sono causate dal naturale funzionamento interno dei mercati e che accadono anche se non vi sono "fonti di fragilità strutturale" o modifiche improvvise dei fondamentali. E il motivo del fenomeno forse è semplice: i mercati non sono affatto in stato di equilibrio.
[...] Negli anni Novanta i ricercatori si servirono delle simulazioni al computer per analizzare meglio le fluttuazioni del mercato mobiliare e del mercato valutario di tutto il mondo, e giunsero regolarmente a risultati analoghi [a quelli cui era giunto Mandelbrot]: le leggi della potenza e le fluttuazioni violente non avevano una scala intrinseca.
[...] La legge della potenza relativa alla fluttuazioni dei prezzi mostra come anche l'entità approssimativa della variazione imminente sia imprevedibile. In un mercato organizzato nello stato critico, anche i grandi crolli della Borsa valori sono eventi ordinari e naturali, per quanto in effetti sia lecito non aspettarseli spesso.

Mark Buchanan - Ubiquità.

Senza la minima pretesa di spiegare cosa sta succedendo a Wall Street, non penso che si possa escludere che la criticità autorganizzata sia all'opera nei recenti avvenimenti finanziari.

Leggi della potenza (power laws)

C'è molta speculazione intorno alle leggi della potenza, che sembrano fiorire in ogni angolo della conoscenza e che sono spesso associate al tema della complessità. Credo sia indispensabile avere una concezione corretta del tema per comprenderne le implicazioni.
Con questo post mi sforzo di dare una visione introduttiva, incoraggiando chiunque capiti da queste parti a emendare quanto scrivo se dovesse riscontrare inesattezze, o semplicemente arricchirlo con altre informazioni o link utili.
Leggiamo spesso che una distribuzione di probabilità che abbia il profilo di una legge di potenza è del tipo:
P{X>x} = cx^-a
Va chiarito innanzitutto che questa espressione corrisponde alla definizione di funzione di distribuzione cumulativa complementare della variabile aleatoria X, essendo la funzione di distribuzione classicamente definitia come P{X <= x}. Naturalmente, stiamo implicitamente usando la definizione di probabilità come frequenza degli eventi casuali.
Si dimostra che una tale distribuzione di probabilità ha varianza infinita se a<= 2 e media infinita se a > 1.
Questo articolo di Michael Mitzenmacher contiene un'ottima introduzione matematica.

Il significato probabilistico di una distribuzione con il profilo di una legge della potenza è evidente nel fatto che non riusciamo ad individuare media e varianza caratteristici. Una varianza infinita è intuibile nel profilo della distribuzione, in cui gli eventi "grandi" (ovvero corrispondenti a grandi valori di X) sono pochi o pochissimi, mentre la maggior parte degli eventi si trova appiattita sui piccoli valori. Non si riesce a trovare un valore caratteristico, e non si riesce a trovare una scala caratteristica, ma si manifesta un fattore costante nel passaggio da una scala ad un'altra. A quest'ultima proprietà si è dato il nome di invarianza di scala: essa ha un ruolo assai rilevante nella caratterizzazione dei sistemi complessi, e, curiosamente, anche del caos deterministico e della geometria frattale.
Questa caratteristica ubiqua ha contribuito ad accrescere l'interesse intorno alle leggi di potenza, non senza fortuna, ma anche a far proliferare leggi di potenza in letteratura pseudo-scientifica. Per una dissertazione critica sulla validità di queste distribuzioni si vedano queste note del fisico statistico prof. Cosma Rahili Shalizi.
Se infatti le leggi della potenza hanno proprietà certamente interessanti e forniscono una base di studio per le dinamiche complesse, non è banale poterle dedurre da dati empirici e misure. A chi volesse tentare, eccovi un ottimo kit degli attrezzi.