La III Classe di Wolfram: caos dagli Automi Cellulari.

Il caos deterministico "classico" ha alcune caratteristiche fondamentali ben note:
- forte sensibilità alle condizioni iniziali
- divergenza esponenziale delle traiettorie (consegue dalla prima)
- regime dinamico totalmente aperiodico.

Da questo punto di vista, l'evoluzione dinamica di un sistema discreto con spazio di stato finito non può avere l'ultima delle tre caratteristiche: essendo finito lo spazio degli stati, l'evoluzione dinamica si troverà necessariamente a dover ripetere un ciclo di stati ad un certo punto.
Tuttavia è proprio da sistemi appartenenti a questa famiglia che sono venuti risultati tra i più importanti per lo sviluppo della scienza della complessità.
Gli Automi Cellulari sono i veri antesignani dello studio delle dinamiche complesse nei sistemi discreti. Per questa classe di sistemi, non esistendo un criterio universalmente accettato per identificarne il comportamento caotico, si utilizza la classificazione data da Wolfram, che ha diviso gli Automi Cellulari in 4 gruppi secondo il comportamento:

- stato omogeneo (classe I)
- strutture periodiche (classe II)

- caos (classe III)

- casualità pura (classe IV)

E' chiaramenta una classificazione basata sull'osservazione del comportamento di questi sistemi.

Trattandosi di sistemi discreti a spazio finito degli stati, balza agli occhi un'incongruenza: è evidente che dopo un periodo di tempo sufficientemente lungo il sistema dovrà comunque trovarsi ad avere esplorato tutti gli stati possibili, quindi (essendo un sistema deterministico) si troverà a ripercorrere un ciclo. Fino a che punto ha dunque senso parlare di "caos" e "casualità" in sistemi siffatti?

Soprattutto a chi ha avuto esperienza di sistemi dinamici continui, dove esiste sempre la possibilità che le traiettorie possano non auto-intersecarsi mai, questa distonia risalta.

Consideriamo però un semplice automa cellulare costituito da un vettore di N celle, ognuna delle quali può assumere k differenti stati discreti, a seconda degli input che gli provengono dal suo vicinato di n celle. Per ciascuna cella ci saranno k^n possibili configurazioni di input, tante quante sono le disposizioni con ripetizione di k simboli ad n ad n.

La rule table dell'automa cellulare assegna poi alla cella un valore specifico a seconda della configurazione di input: ci sono quindi k^n possibili associazioni tra input ed output per una cella, tante quante sono le possibili configurazioni di input. Chiaramente un AC è ben definito proprio fissando queste k^n associazioni: ma quanti modi ci sarebbero per definire un AC con questi presupposti? Facile: ce ne sarebbero k^(k^n), tanti quante sono le disposizioni con ripetizione di k simboli presi a gruppi di k^n. Questo è il numero degli AC possibili nello spazio definito dai parametri k ed n.

Per N sufficientemente grande, diventa virtualmente impossibile che l'AC possa esplorare tutto lo spazio delle configurazioni in un tempo dato. Ha quindi senso osservare il comportamento dell'AC (in un tempo finito) al limite per N che tende ad infinito nel caso di sistemi di classe III e IV (caos e random).

Wolfram ed altri comparano gli AC di Classe III a sistemi dinamici caotici [...] Dato uno spazio finito di dimensioni "ragionevoli", è quasi certo che gli AC di Classe III non "si ripeteranno" mai, ed anche quando accade essi possono avere cicli estremamente lunghi. Inoltre gli AC di Classe III mostrano sensibilità alle condizioni iniziali: anche la sola modifica di un paio di celle dello stato iniziale può produrre un comportamento radicalmente diverso.[...] Tracciando un paragone tra programmi e AC, i sistemi di Classe III sono molto simili ai generatori di numeri pseudocasuali (PRNG). Dato un "seme" iniziale, un PRNG può produrre sequenze talmente incorrelate che possono facilmente superare la maggior parte dei test usati per identificare i processi casuali (es. rumore bianco).
G.W. Flake - The Computational Beauty of Nature.

Fatte queste osservazioni, la classificazione di Wolfram acquisisce significato perchè permette di inquadrare questi sistemi discreti a stati finiti nell'ambito dei sistemi complessi. Pur non esistendo ad oggi un accordo unanime su cosa sia un comportamento caotico nel caso di sistemi discreti a stati finiti, questo tipo di definizione qualitativa è accettata e sarà usata in questo campo di studi finchè non ne apparirà una migliore.
I sistemi AC di Classe III sono dunque capaci di comportamento caotico - nei termini suddetti - che si manifesta nel tempo (sequenza di stati assunti da una singola cella) e nello spazio (formazione di pattern randomici): il che è già un bel risultato per un sistema in fin dei conti costituito da poche regole semplici.

E la complessità? Quella viene con la IV Classe di Wolfram, la più celebre. Per approfondimenti è disponibile in rete un tesoro di informazioni: The New Kind of Science gratuitamente consultabile.

Ultima riflessione. Se anche lo spazio di stato è finito, esso può essere talmente vasto da consentire una cornucopia di automi cellulari diversi, ognuno con una gran quantità di stati possibili. Se ipotizzassimo che la rule table di un automa cellulare possa mutare nel tempo per adattamento a condizioni ambientali, troveremmo che pur con vincoli così stringenti su k ed n lo spazio delle possibilità avrebbe una vastità davvero enorme: un numero minore di particelle ha generato un universo di diversità, quale quello in cui noi viviamo, avendo a disposizione probabilmente meno di 5 interazioni possibili con altre particelle.

Sensazionalismi galattici.

Sono insofferente al sensazionalismo mediatico, alle notizie condensate in poche righe (headline noise più che news) che, se non altro per mancanza di spazio, travisano i fatti di cui dovrebbero informare.
Tanto meno soffro queste cose quando le notizie in questione riguardano i risultati della ricerca scientifica e vengono condite di effetti speciali da seconda visione per impressionare i lettori. E non si venga a incolpare il volgo ignorante che non è sufficientemente preparato da cogliere l'evidenza che si cela tra le righe, quando anche le maggiori testate nazionali (una per tutti) pubblicano sulle rubriche scientifiche titoli che annunciano che la fine della nostra galassia è certa ed è stata calcolata con precisione dagli scienziati di centri di ricerca di evidente rilievo mondiale.
Così infatti è stata sensazionalizzata la press release dello Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics riguardo la notizia del recente risultato di studi e misure che ha permesso di valutare con precisione la velocità della Via Lattea e la sua massa totale, rendendola più simile sotto questi aspetti alla galassia a noi più prossima, Andromeda.
Il comunicato stampa non manca di rilevare che una maggiore massa implica un maggiore campo gravitazionale, e che questa circostanza aumenta le probabilità che le due galassie citate possano finire per collidere. Ma la vera notizia esposta è quella della maggior precisione delle misure dirette delle grandezze significative effettuata attraverso il sistema VLBA, dovuta a tecniche e metodi perfezionati rispetto a quelli utilizzati precedentemente in questo ambito.
Non vi è traccia nel comunicato del Centro per l'Astrofisica del Massachusets del codazzo di visioni fantascientifiche che partono da catastrofici sconvolgimenti tettonici nel nostro pianeta e terminano con epiche colonizzazioni spaziali alla Asimov. Né si è cercato di spacciare per previsioni quelli che possono essere soltanto scenari probabilistici, seppure possibili.
Chi si occupa di giornalismo scientifico farebbe meglio a spiegare qualcosa in più riguardo alle capacità previsionali dei modelli che vengono utilizzati per rappresentare sistemi non lineari. Ci siamo dimenticati che Poincarè ci ha già dimostrato l'impredicibilità del problema dei tre corpi? E qui si parla di galassie, dove di corpi ce ne sono qualcosa in più di tre. Per non dire del sistema solare, il cui comportamento caotico è stato già osservato: il noto effetto del caos deterministico sugli errori di previsione a causa dell'incertezza iniziale che cresce esponenzialmente col tempo, dovrebbe infondere più cautela perfino sulle previsioni del moto dei pianeti a noi più vicini sul medio e lungo termine, figuriamoci delle interazioni tra galassie.
Una citazione, per concludere:

Il comportamento di un sistema composto di numerose equazioni non lineari, contenenti vari parametri, in generale è imprevedibile a priori [...]. l'eventuale presenza di caos nella dinamica evolutiva dei modelli matematici costruiti sotto forma di sistemi dinamici, è un ulteriore elemento che priva i modelli del valore di metodi per la previsione in senso stretto del futuro. [...] le stesse caratteristiche caotiche della dinamica, cui i modelli a volte danno origine, rendono la previsione del futuro un'idea del tutto priva di senso.
C.S. Bertuglia, F. Vaio - Non linearità, caos, complessità.

Aforisma.

Una citazione breve ed efficace sulla relazione tra caos (deterministico) e auto-organizzazione, o se vogliamo tra caos e complessità:

Lo studio dei sistemi auto-organizzanti è, in qualche modo, il "correlato-opposto" dello studio del caos: nei sistemi auto-organizzanti, pattern ordinati emergono da casualità di livello più basso; nei sistemi caotici, comportamento impredicibile emerge da regole deterministiche di livello inferiore.
Farmer e Packard - Evoluzione, giochi e apprendimento: modelli per l'adattamento nelle macchine e in natura.

Il Margine del Caos: come ti confondo caos, complessità e vita.

Viviamo in un'epoca in cui i concetti e le idee che vanno sotto il nome altisonante di Teoria o Scienza della Complessità hanno destato l'attenzione dei guru dell'enterprise management, e fioriscono siti dedicati alla proposta di ricette per affrontare e governare la complessità aziendale.
Niente di sbagliato nel cercare applicazioni pratiche di questi concetti nell'ambito del business management, se non che nella foga di proporre soluzioni e servizi innovativi ed evocativi delle ultime frontiere della ricerca scientifica si travisano grossolanamente concetti che richiederebbero un po' più di riflessione e di preparazione.
Così accade che l'aggettivo casuale - o randomico - e caotico diventano sinonimi, che i fenomeni caotici e i modelli stocastici vengono confusi tra loro, e che tali vengono ad essere i sistemi complessi tout-court.
Questo post è dedicato a rivedere un concetto molto famoso, quello del Margine del Caos, anch'esso un cavallo di battaglia di quella letteratura digitale che si occupa di business management.
Tra gli addetti ai lavori questo concetto è sintetizzato nella sigla EOC (Edge of Chaos), che spesso viene affiancato all'altro celebre acronimo SOC (Self Organized Criticality).
Il concetto di Margine dei Caos nasce dalla pubblicazione di Langton del 1990 sulle capacità computazionali degli automi cellulari, in cui si conclude che esiste una soglia critica nella dinamica degli automi cellulari oltre la quale il sistema subisce una transizione di fase verso un comportamento randomico oppure caotico. Intorno a tale soglia l'automa cellulare, secondo Langton, è capace di calcolo universale, cioè diventa una Macchina di Turing Universale (UTM), perché viene a trovarsi nella sua zona di massima complessità - dove il termine complessità va inteso nel senso di Kolmogorov - Chaitin, ovvero come complessità algoritmica o computazionale. In poche parole, in tale condizione il sistema è al suo massimo in termini di capacità di gestione - elaborazione, generazione - delle informazioni.
Il significato di complessità in questo contesto è squisitamente informatico e quantificabile.
Negli stessi anni si andavano sviluppando nuove ricerche sul caos, e affermando concetti chiavi quali le rotte verso il caos nei sistemi dinamici, e le proprietà computazionali emergenti at the onset of chaos.
Da queste idee ha preso piede una specifica definizione di complessità quantificabile - quella algoritmica nel senso di Chaitin-Kolomogorov - che spesso viene considerata come complessità tout-court, e sono nate idee popolari come quella della vita al margine del caos.
Quest'ultima non è altro che l'infondata supposizione - non sostenuta da dimostrazioni scientifiche - che anche la natura dia luogo alle sue condizioni di maggior complessità - la vita, appunto - al margine del comportamento caotico, così come accade per la complessità computazionale di certi sistemi fisici.
Senza contare che anche i celebrati risultati di Langton sono stati fortemente ridimensionati da studi successivi.
Per concludere, queste idee non hanno un riscontro scientifico in biologia e nelle altre scienze della vita. Di contro, esse generano confusione nella cornice della teoria della complessità a cause delle illazioni cui danno luogo riguardo le (fraintese) relazioni tra caos, complessità e vita.

Genio ed umiltà: è scomparso Edward Lorenz.

Ho letto parecchie cose di lui, alcune anche biografiche e anche se non ho mai avuto il privilegio di incontrarlo di persona, l'idea che mi sono fatto è che fosse un uomo dotato delle rare virtù della modestia e dell'umiltà.
Ci ha regalato una delle scoperte fondamentali per la fisica e la matematica del XX secolo, e la teoria del caos che in lui ha avuto uno dei massimi rappresentanti continuerà a indirizzare in modo importante - direttamente o indirettamente - la ricerca del XXI secolo.
Qualcuno dirà di lui che si sia semplicemente imbattuto nella scoperta di "quel piccolo modello", come si dice lo chiamasse spesso, senza ben comprendere quello che aveva tra le mani. Io penso che quello che aveva tra le mani non lo abbiamo pienamente compreso neanche adesso, a 50 anni di distanza. E che abbiamo lo stesso un grosso debito verso quest'uomo.

Tutte le volte che tenevo il mio corso sul caos, lui e io compivamo lo stesso rituale, ogni anno, tanto che ero giunto ad aspettare con ansia il momento in cui lo avremmo ripetuto. Telefonavo al professor Lorenz e lo invitavo a venire a tenere una lezione agli studenti del mio corso. Lui, con un imbarazzo genuino, come se fosse una questione aperta, chiedeva: "Di che cosa dovrei parlare?". "Che ne dice delle equazioni di Lorenz?" rispondevo io. "Oh, quel piccolo modello?". E poi, immancabile come le stagioni, si presentava davanti alla mia classe intimorita e adorante e non ci diceva nulla sulle equazioni di Lorenz; ci parlava invece di ciò su cui stava lavorando in quel momento. Non aveva importanza. Eravamo tutti lì per cogliere un'occhiata dell'uomo che aveva dato inizio al moderno campo della teoria del caos.

Steven Strogatz - Sincronia.

Le reti oltre il caos.

Il problema dei tre corpi è un classico della fisica: lungamente insoluto, attirò anche l'attenzione di Henri Poincarè nel secolo XIX. Non può essere risolto utilizzando le leggi di Newton, dato che quel sistema di equazioni non è integrabile per questo problema, e già il geniale francese rintracciò nella dinamica dei tre corpi i segni premonitori del caos deterministico.
Generalizzando al caso degli n-corpi, ci troviamo davanti ad un problema non risolvibile analiticamente, certamente caratterizzato da dinamiche non-lineari e fortemente sensibili alle condizioni iniziali. Se ci mettessimo alla ricerca di un modello fisico che segnasse l'anello di congiunzione tra i sistemi non-lineari "semplici" con comportamento caotico, e sistemi aggregati o collettivi costituiti da un gran numero di dinamiche che si influenzano reciprocamente, questo potrebbe essere rappresentato dal problema degli n-corpi.
Il nostro mondo è denso di fenomeni che si possono comprendere se li riconduciamo nel contesto di un sistema a molti componenti interagenti. Di più, l'interazione tra elementi semplici deve essere cercata per studiare fenomeni non comprensibili se valutati con un ottica riduzionistica.
La rete delle interazioni tra componenti considerata su diverse scale è la chiave per comprendere la complessità del mondo che ci circonda, specialmente laddove osserviamo mutamenti inspiegabili, repentini e drastici, tali da stravolgere senza apparente spiegazione la realtà intorno a noi - quei cambiamenti, insomma, per i quali spesso abbiamo necessità di tirare in ballo il concetto di caso.

"In fenomeni che prevedono l'interazione di migliaia o milioni di elementi, l'importante sono l'organizzazione e il comportamento collettivi, per comprendere i quali occorre una teoria generalmente valida per le reti di elementi interagenti.
[...] Il caos, di per sé, non spiega perché una farfalla possa provocare un temporale; spiega invece perché una causa di minima entità possa, in breve tempo, rendere il futuro diverso nei dettagli (es. la posizione di molte molecole) da quello che sarebbe potuto essere. [...] In poche parole, è lecito affermare che, sebbene spieghi la semplice imprevedibilità, il caos non spiega la predisposizione agli sconvolgimenti."
(Mark Buchanan - Ubiquità.)

Il modello delle reti di elementi interagenti è lo strumento concettuale appropriato per descrivere la realtà e studiarne la complessità sotto molteplici punti di vista e negli ambiti più disparati.

Predicibilità e catastrofismo mediatico.

L'ultima catastrofe annunciata è per fortuna abbastanza in là nel tempo da non destare preoccupazioni per noi e la nostra discendenza prossima. La Terra si dissolverà in gas tra 7,5 miliardi di anni a causa di perturbazioni della sua orbita dovute alla mutata attrazione magnetica esercitata dal sole, il tutto è descritto con soprendente assenza di informazioni su un articolo apparso oggi sul Corriere della Sera.
Ci sarebbe di che inorridire, se non fosse che queste catastrofi annunciate sono ormai un motivo ricorrente della stampa sensazionalistica. Naturalmente nessun giudizio per i presunti autori dello studio, che a quanto pare ad oggi non è neanche stato pubblicato. Ma se anche lo fosse stato, probabilmente sarebbe stato troppa grazia per il giornalista andarselo a leggere.
Ad ogni modo, a parte il mio personale disappunto per questo tipo di dis-informazione, traggo spunto per una riflessione che mi sta maggiormente a cuore.
In un sistema caratterizzato da caos deterministico, oltre ad un'elevatissima sensibilità alle condizoni iniziali, riscontriamo anche un'impredicibilità a lungo termine dell'evoluzione futura legata al fatto che l'incertezza iniziale cresce con una legge esponenziale, il cui esponente è noto come (massimo) esponente di Lyapunov del sistema.
Si dimostra facilmente che, per quanto piccolo possa essere questo esponente, per poter raddoppiare il tempo di previsione (cioè quel tempo per il quale siamo disposti ad accettare un errore dato) è necessario ridurre anche di qualche ordine di grandezza l'incertezza iniziale. Dato che questo è strutturalmente impossibile nel caso di misure o serie storiche di dati, ne consegue che il tempo di previsione, per sistemi caotici, è intrinsecamente limitato dalle caratteristiche del sistema stesso. Qualunque stima si collochi oltre il tempo di previsione massimo accettabile non è una previsione ma una divinazione, e come tale deve essere considerata.
La questione è spiegata nelle sue linee essenziali nelle prime dodici slide che segnalo, ad opera del prof. Andrea Rapisarda.
Alla luce di queste nozioni, del fatto che i sistemi astronomici ed il sole in particolare hanno, con molta probabilità, dinamiche caotiche (alcuni riferimenti, tra quelli rintracciabili con Google: Malhotra, Laskar), e che certamente non disponiamo di serie storiche sufficientemente lunghe per avere un'incertezza ragionevolmente piccola, davvero sorprende che si dia tanta enfasi catastrofista ad una ipotesi scientifica certamente discutibile.
Sarò comunque grato a chiunque vorrà postarmi l'articolo autentico, quando verrà pubblicato.

Il lancio della moneta, ovvero la fisica per caso.

La teoria matematica della probabilità nasce nel XVI secolo, prendendo le mosse dagli sviluppi dell'arte combinatoria. Ma fino ad allora il concetto di evento casuale, e di caso tout-court, non sembra avessero caratterizzato la cultura degli uomini. Le società antiche facevano più volentieri riferimento all'intervento divino per cercare ragioni di fenomeni e circostanze altrimenti inspiegabili. Penso che l'antropologia abbia scritto pagine di riflessioni affascinanti su questi temi.
Oggi il concetto di probabilità è comune a ciascuno di noi, e ci crea un leggero disagio soltanto quando viene contrapposto al determinismo dominante nella visione moderna del mondo. Per il resto, siamo abituati che il calcolo delle probabilità intervenga in moltissimi campi del vivere quotidiano. In questi giorni di campagna elettorale siamo già investiti dagli usuali pronostici delle parti in gara che, ahi noi, se ne infischiano dell'ovvia regola del 100% - ma questa è un'altra storia...
La definizione di probabilità è cosa tutt'altro che banale: quella classica che a tutti noi è stata raccontata a scuola, e cioè che la probabilità di un evento in una serie di n eventi equiprobabili è 1/n è chiaramente viziata da circolarità: occorre già sapere che gli eventi hanno pari probabilità, prima ancora di dire cosa sia questa grandezza. La fuorviante definizione è un lascito di Laplace, che pure ha dato un contributo fondante alla teoria.
Ci sono oggi due visioni fisiche che riguardano la probabilità, quindi il caso:
- la visione quantistica, secondo la quale il caso è alla base stessa dei fenomeni subatomici;
- la visione deterministica, secondo la quale invece il caso non esiste di per sé, ma è un concetto utile alla modellazione di sistemi altrimenti non suscettibili di analisi.
Non ci è ancora dato sapere da che parte stia la verità, ma penso che la seconda visione sia quella più intuitiva, almeno alla scala dei fenomeni che osserviamo noi uomini.
Consideriamo ad esempio il semplice lancio di una moneta, icona - insieme al lancio dei dadi - del fenomeno probabilistico. In realtà sappiamo che l'esito del lancio è stabilito dall'evoluzione dinamica del moto del solido successivamente alla sollecitazione ricevuta inizialmente. Per quanto complesse siano, sappiamo che è possibile scrivere le equazioni del moto della moneta, quindi sappiamo che è possibile, almeno teoricamente, prevedere se avremo testa o croce sulla faccia della moneta quando atterra: questa è l'essenza del determinismo, e non abbiamo dubbi che questo fenomeno sia deterministico. Eppure, regolarmente, constateremo che aveva ragione Laplace: testa e croce appariranno un numero pari di volte se ripetiamo l'esperimento sufficientemente a lungo. In altre parole, in barba alle sue equazioni differenziali deterministiche, non saremo mai in grado di predire se avremo testa o croce ad ogni nuovo lancio.
Provate on-line, se non avete una moneta a portata di mano...(non è un modello dinamico però, bensì probabilistico - se trovate un modello dinamico online, fatemi sapere).
Il caso come noi lo conosciamo nasce quindi da una modellazione matematica che non pretende di dire nulla di fisico, ma si rivela assai efficace nella previsione di fenomeni che, per loro natura, sarebbero altrimenti impredicibili.
Applichiamo infatti l'analisi statistica ai fenomeni reali - spesso con grande successo - per inferirne delle caratteristiche e produrre conoscenza di essi, non per sancirne la natura casuale.
Fino all'avvento della meccanica quantistica non si pensava realmente al caso come base dei fenomeni fisici. Dopo l'avvento del caos abbiamo scoperto che sistemi semplici e perfettamente deterministici possono produrre dinamiche randomiche.
Lo sforzo delle scienze della complessità è adesso capire cosa succede in sistemi complessi, di grandi dimensioni o lontani dall'equilibrio: non possiamo ancora sciogliere la riserva sulla casualità (e forse non potremo mai), ma certamente la teoria della probabilità potrà dirci molte cose.

Breve navigazione tra caos, caso e complessità.

La matematica del caos è ben lungi dall'essere matura e sufficientemente sviluppata da potersi applicare a sistemi di grandi dimensioni. Ciononostante essa entra di diritto nel novero delle dottrine che formano il corpus in evoluzione della cosiddetta teoria della complessità. Storicamente, si potrebbe dire che ne sia la progenitrice.
Apparentemente le due discipline hanno poco in comune. I sistemi caotici dei quali si conoscono le equazioni differenziali sono tutto sommato pochi, e tutti si possono dire semplici, nel senso che hanno pochi gradi di libertà - il famoso sistema di Lorenz ne ha soltanto tre, ad esempio. Questo è probabilmente dovuto agli ambiti di studio in cui i sistemi noti in letteratura sono stati sviluppati, perchè i principi del caos sembrano facilmente applicabili anche per sistemi di grandi dimensioni, con molti gradi di libertà, ovvero con parecchie variabili di stato. L'analisi delle misurazioni effettuate lascia infatti pensare che anche sistemi ipoteticamente di grandi dimensioni possano avere in sè una natura caotica (vedi il caso della geodinamo).
La teoria della complessità è nata dalle riflessioni intorno a sistemi con molte dimensioni, quando non addirittura infinite. Quest'ultimo è però un caso a sè, per i risvolti teorici e matematici di cui è pregno: un sistema che avesse infinite dimensioni, o infinite variabili di stato, avrebbe bisogno di un'informazione infinita per essere descritto. Infatti ogni variabile di stato è indipendente da tutte le altre, ed un sistema che abbia infinite variabili di stato potrebbe contenere dentro sè un'informazione infinita, avere una dinamica infinitamente estesa. Probabilmente un sistema del genere sarebbe un sistema del tutto casuale.
Se un sistema di piccole dimensioni (come quello di Lorenz, o come un altro sistema caotico noto in letteratura scientifica) può avere una dinamica talmente articolata, varia e irregolare da poter ben essere scambiato per un sistema casuale, figuriamoci allora quanto può essere sorprendentemente variegata, in teoria, la dinamica di un sistema non-lineare con un grande numero di variabili di stato, ovvero con uno spazio di stato con molte dimensioni. A questo punto non ci dovremmo stupire di una cosa del genere, avendo già osservato cose mirabolanti in sistemi ben più piccoli.
La sorpresa invece viene, nel caso di questi sistemi che possiamo ben dire complessi, quando osserviamo un comportamento del tutto ordinato e regolare, ladove ci saremmo invece aspettati un turbolento disordine sovrano e indomabile. Sarebbe il caso di fare degli esempi, lo so: mi farò perdonare in uno dei prossimi post.
Il russo premio Nobel per la fisica Lev Landau, cui sono dovuti importanti studi seminali sulla turbolenza, attribuiva questa fenomenologia al sommarsi di infinite frequenze o modi nella dinamica di un fluido, in questo modo riflettendo l'idea che i comportamenti complessi dovessero essere generati da sistemi complessi caratterizzati da un gran numero, tendente ad infinito, di gradi di libertà. Oggi sappiamo che aveva torto, che una dinamica complessa può essere figlia di un sistema semplice come quello di Lorenz, e che un sistema complesso può avere una dinamica sorprendentemente regolare.
Se la teoria del caos si occupa dello studio del comportamento irregolare (o complesso) di piccoli sistemi, la teoria della complessità - ammesso che si possa individuarne un perimetro definito - si è concentrata soprattutto sullo studio del comportamento ordinato e organizzato di grandi sistemi (in ciò complessi).
Naturalmente, nessuna sorpresa che un sistema complesso possa avere anche una dinamica complessa.
A mio modo di vedere, anche un sistema "semplice" che manifesti un comportamento caotico può essere definito complesso, perchè tra un sistema e la sua dinamica il legame è molto stretto, ammesso che si possa fare una distinzione.

Riflessione sull'arte di un fisico-matematico.

In un certo senso, l'arte è una teoria sul modo in cui il mondo appare agli esseri umani. E' ovvio che non conosciamo nei particolari il mondo che ci circonda. Il merito degli artisti è quello di essersi resi conto che ci sono solo poche cose importanti, e poi di vedere quali siano. [...]
Se si considerano le opere più giovanili di Van Gogh, in esse ci sono triliardi di particolari, nei suoi quadri c'è sempre una quantità immensa di informazione. E' chiaro che egli si rese conto di quale quantità irriducibile di contenuto ci si dovesse mettere.
Oppure si possono studiare gli orizzonti nei disegni a inchiostro olandesi dei Seicento, con minuscoli alberi e mucche che sembrano molto reali. Se si guarda attentamente, gli alberi hanno una sorta di confine del fogliame, ma la cosa non funzionerebbe se fosse tutto qui: in realtà ci sono anche, attaccati, pezzettini di materia simili a ramoscelli. C'è un gioco ben preciso fra le testure più tenui e le forme con linee più marcate. In qualche modo la combinazione ci dà una percezione corretta.
Ruysdael e Turner, se si guarda in che modo costruiscono complesse superfici d'acqua, lo fanno chiaramente in un modo iterativo. C'è un qualche livello di materia, e poi materia dipinta su quella, e poi correzioni apportate a quest'ultima. Per quei pittori i liquidi turbolenti sono sempre qualcosa che ha in sè un'idea di invarianza di scala.
Io vorrei davvero sapere come descrivere le nuvole. Penso però che dire che qui c'è una parte con tanta densità e poi una parte con tanta altra densità - accumulare un'informazione così dettagliata - sia sbagliato. Questo non è certamente il modo in cui un essere umano percepisce le cose, e non è il modo in cui le percepisce un artista.
E neppure il fatto di scrivere equazioni differenziali parziali ci avvicina di più alla verità sul problema.
In qualche modo, la mirabile promessa della Terra è che in essa ci sono belle cose, cose meravigliose e seducenti, e che in virtù del nostro lavoro noi vogliamo conoscerle.

Mitchell Feigenbaum (citato in Caos di J. Gleick).

Il battito cardiaco.

Sentiamo spesso dire che il caos deterministico è stato riscontrato in questo o quel fenomeno naturale ormai da più di 20 anni, da quando cioè quasi all'improvviso abbiamo aperto gli occhi su una realtà che avevamo deciso di non osservare, quella dei fenomeni reali non lineari (cioè di quasi tutti i fenomeni reali tout court).
Personalmente uno dei riscontri che mi ha più impressionato è quello del caos nel battito cardiaco umano: in un individuo sano la dinamica del battito cardiaco misurabile con un elettrocardiogramma è caotica, mentra una dinamica regolare è spesso sintomo di una patologia. Anche l'elettroencefalogramma di una persona sana ha dimostrato i tratti caratteristici ed inequivocabili del caos.
Ma cosa vuol dire che si è riscontrato il caos in un fenomeno naturale? Come si stabilisce che un sistema naturale è caotico?
Se di un sistema conosciamo le equazioni allora ci vengono in soccorso gli strumenti dell'analisi matematica, la simulazione al computer che ci permette di studiare come varia il comportamento del sistema al variare dei suoi parametri.
L'insorgenza del caos è sempre preceduta da fenomeni matematici ben individuabili, dei punti di passaggio da comportamenti regolari a comportamenti man mano più articolati: mi riferisco ad esempio al raddoppio di periodo che si succede ad intervalli determinabili e che alla fine sfocia nel caos vero e proprio. Questi percorsi possono essere visualizzati nei diagrammi di biforcazione.
Una caratteristica universale del caos è che il rapporto di convergenza nella sequenza di biforcazioni (la cosiddetta rotta per il caos) che si osserva al variare di un parametro, è quasi costante ed è costante all'infinito. Questo rapporto prende il nome di delta di Feigenbaum, e ci permette di sapere con precisione quando si verificherà la prossima biforcazione in un sistema che evolve verso il caos. Quindi, se osserviamo un rapporto costante e prossimo al delta di Feigenbaum negli intervalli tra una biforcazione e l'altra di una dinamica, abbiamo un indizio importante che quel sistema abbia le caratteristiche del caos in sè e stia evolvendo verso una dinamica caotica per il variare di un suo parametro strutturale (ad esempio la tensione ai capi di un diodo).
Il calcolo dei cosiddetti esponenti di Lyapunov consente di affermare che due traiettorie di stato "vicine" del sistema divergono in media: la conseguenza matematica di questo fatto è la caoticità del sistema (definito dai suoi parametri - per altri parametri lo stesso sistema potrebbe non essere caotico). Questo è naturalmente possibile soltanto se si conoscono le equazioni del sistema, nel qual caso si perviene agli esponenti di Lyapunov per via matematica.
Se invece non conosciamo le equazioni del sistema, allora dobbiamo procedere ad una misurazione della sua dinamica appropriandoci di una serie storica di campioni sufficientemente lunga. Su questa serie misurata possiamo stimare alcuni parametri quantitativi: ancora i coefficienti di Lyapunov, oppure l'entropia di Kolmogorov, o la dimensione frattale, o ancora la dimensione della correlazione. Questi parametri possono dirci se siamo in presenza di caos.
Il caos quindi ha delle tracce ben individuabili, e le sue tracce sono state scoperte in innumerevoli sistemi naturali, sia viventi sia non.

Matematica imbecillità politica bipartisan.

Per la governabilità di un Paese democratico niente è meno auspicabile di un sistema elettorale che porti all'interno delle sue regole il seme della impredicibilità e quello della non equità del peso elettorale dei votanti.
Nel 2006 l'Istituto dei Sistemi Complessi del CNR ha dimostrato come il meccanismo elettorale del Senato abbia caratteristiche impredicibili in modi che ricordano i sistemi caotici: cambiamenti anche piccoli del risultato elettorale possono portare addirittura al ribaltamento dell'esito della consultazione, a causa del premio di maggioranza. A causa di questo meccanismo mal concepito, chi prende più voti in certe circostanze può perdere le elezioni al Senato o comunque risultarne indebolito.
Tra tutti gli esiti possibili delle urne, il premio di maggioranza interviene nell'82% dei casi; per il 2% di tutti gli esiti possibili il "ribaltone" - cioè lo scambio tra vinti e vincitori - è matematicamente certo. Cioè il sistema elettorale varato nel 2005 contiene in sè il meccanismo per annullare la volontà democratica con matematica certezza per alcuni casi ben individuabili, cosa certamente gravissima.
In più del 30% dei casi, poi, l'applicazione del premio indebolisce - invece di rafforzare - la coalizione che ha ottenuto la maggioranza dei seggi.
Certamente non un bel risultato per una legge che si proponeva di aumentare la governabilità per la coalizione che avesse vinto le elezioni assegnandole una quota di seggi aggiuntivi.
Gli autori dello studio (i cui risultati sono stati pubblicati su Le Scienze in un articolo apparso nel settembre 2006, e disponibile qui) mettono in evidenza come le possibilità di questi effetti siano massime nelle situazioni in cui ci siano due coalizioni politiche che competono testa a testa: questo vuol dire che nel caso delle ultime elezioni politiche in Italia la probabilità di ritrovarsi in questo regime di impredicibilità elettorale era massima. Davvero non si capisce come la circostanza sia potuta sfuggire agli organi competenti, visto che la matematica che sta alla base di queste analisi è tutto fuorchè inaccessibile.

Il nuovo sistema elettorale è stato appellato con tutti gli aggettivi meno edificanti del vocabolario italiano. A prescindere dalle considerazioni politiche (semmai se ne possa prescindere in una tal questione) è matematicamente evidente che esso sia inadeguato per una società che si dica democratica.
A chi sospettasse che la legge sia stata fatta a bella posta per garantire la continuità del potere, ricordo che proprio la compaggine di governo responsabile di questa stoltezza ha perso per un soffio le elezioni: dando l'impressione di essere, più che artefice di un progetto sovversivo dell'ordine democratico, sprovveduta autrice di un sistema elettorale di cui non ha compreso il funzionamento. Anche se, per un caso che ha del fortuito, il premio di maggioranza non ha giocato un ruolo fondamentale nelle recenti elezioni dal momento che i suoi effetti su scala regionale si sono poi annullati nel numero passando alla scala nazionale, esso è comunque intervenuto negli esiti di 6 regioni italiane.
Anche se avrebbe potuto andare peggio visto che questa legge agisce nella direzione di rendere più difficile la governabilità del Paese, è certamente grave che un singolo voto pesi diversamente a seconda della Regione in cui è espresso (ascolta l'intervista al prof. Petri su Radio 24).
Se il Centro Desta ha dato prova di ignoranza matematica, il Centro Sinistra in 18 mesi di governo ha saputo fare anche peggio visto che, pur consapevole delle storture del sistema elettorale, è stata incapace di intervenire.
Entrambe le coalizioni politiche si sono distinte per imbecillità e irresponsabilità politica candidando per due volte il Paese al rischio di ingovernabilità con un sistema che non offre esiti elettorali certi ed equi.

La fisica insegnata a scuola.

Il mio incontro con il caos deterministico è avvenuto per i miei studi universitari, verso il termine del mio corso di laurea in ingegneria elettronica, e non sapevo allora che quelle idee mi sarebbero rimaste dentro per anni. Naturalmente questa non può essere un'esperienza condivisa da tutti, e sono quasi certo che la maggior parte dei miei colleghi di allora non rimase altrettanto ispirata da quella scoperta.

Il caos ha infranto dentro di me una sorta di corteccia dottrinaria stratificata nel tempo ad opera degli insegnamenti scientifici ricevuti sin dal liceo, e proseguiti poi negli studi della Fisica, della Matematica e delle altre discipline che fanno parte di un normale corso di ingegneria. Aprì uno spiraglio sufficientemente largo da farmi comprendere quanto debole, imperfetta e distante dalla realtà sia ancora la nostra conoscenza della natura, ed ha eliminato con un soffio la certezza che le scienze cosiddette forti fossero la via infallibile verso la verità.

E scusate se è poco.

E' dal 1963 almeno che questa rivoluzione epistemologica è in atto, ben prima che io fossi nato. Nel 1982 quando iniziavo il mio primo corso regolare di Fisica al liceo scientifico le discipline del caos e la matematica non-lineare erano una realtà non più ignorabile per la comunità scientifica, eppure nessun indizio trapelò a noi studenti nè de parte degli insegnanti nè, tantomeno, da parte dei libri di testo. Una pacifica, stabile, rassicurante e deprimente patina di linearità si poggiava su tutti gli argomenti. Quanto sarebbe stato più stimolante a quell'età accedere alla vaga speranza del mondo non-lineare, invece di restare oppressi da un determinismo lineare senza scampo che non lasciava quasi spazio alla fantasia ed alla vita.

Forse allora era ancora troppo presto.

Ma oggi non è più accettabile che le nuove frontiere della matematica e della fisica non siano neanche menzionate in quei "cenni di" che costituiscono una parte cospicua dei programmi di fisica delle scuole superiori. Neppure il programma del liceo scientifico contiene un minimo riferimento.

In questa situazione che francamente mi sembra ormai non più accettabile, ben venga l'iniziativa nata in seno all'Università di Catania di svolgere una serie di seminari nelle scuole superiori all'interno di un progetto formativo dal titolo: Viaggio all'interno dei sistemi complessi tra interdisciplinarità e nuove tecnologie.

Non mi risulta - ma potrei sbagliare - che ci siano iniziative del genere in altre città d'Italia.

Ipersemplificazioni sul clima.

Credo che l'attività svolta dal IPCC (International Panel on Climate Change) e la sua stessa esistenza siano una buona notizia per noi tutti: questo istituto, che ha sede in Svizzera, si occupa dello studio dei cambiamenti climatici e fornisce informazioni a supporto delle decisioni per la società, i governi e le istituzioni internazionali.
Nell'attuale contesto di pressing mediatico sull'argomento clima qualcuno potrebbe allora faticare a comprendere le ragioni della cautela dimostrata dal IPCC nell'affermare che le attività umane siano con molta probabilità la causa del cambiamento climatico. La relazione causa-effetto è considerata molto probabile nell'ultimo Rapporto Sintetico per i Decisori Politici del 2007 (disponibile qui), era solo probabile nel precedente rapporto del 2001.
La reazione istintiva è forse di sorpresa: come mai solo molto probabile, quando l'opinione comune è che questo nesso sia ormai certo.

Così non è. L'IPCC raggruppa e analizza risultati di ricerche condotte da diversi enti di ricerca sul pianeta, mettendoli in relazione gli uni con gli altri nell'apprezzabile intento di fornire una visione condivisa degli eventi climatici. Per la massima parte questo è un lavoro effettuato con strumenti statistici, e consiste nella correlazione di dati tra loro. Il risultato statistico fornisce una probabilità che due o più serie di dati siano in relazione tra loro. Il nesso causa-effetto in statistica non è mai certo. Diventa certo quando vi è evidenza sperimentale della fenomenologia, e a quel punto diventa comprensibile quando si riescono a scrivere le equazioni del sistema o almeno si riesce a sviluppare un modello artificiale sufficientemente attendibile del fenomeno.
Questo aspetto viene rilevato da molti scienziati nel mondo che hanno spesso un atteggiamento critico nei confronti dell' IPCC, che è accusato di spacciare per scienza ciò che è soprattutto un dossier di osservazioni e per previsione ciò che non può andare al di là di una proiezione di dati ancora da verificare. Le differenze non sono sottili per chi si occupa seriamente di ricerca scientifica, come il Prof. Guido Visconti che ha pubblicato su Le Scienze le sue critiche all'ultimo rapporto dell'istituto svizzero. In particolare Visconti ha messo in guardia da quelle che lui chiama

ipersemplificazioni dovute all'uso di modelli lineari nell'analisi di fenomeni complessi.

Su questo punto sono d'accordo con lui: oggi la scienza è ancora lontana da una vera comprensione del clima, le lacune del IPCC lo dimostrano. Altro punto su cui sono d'accordo è l'ingiustificato catastrofismo mediatico: se le previsioni oggi non possono essere supportate da veri risultati scientifici, allora le conclusioni che parlano di imminenti catastrofi climatiche sono falsità che millantano un rigore scientifico di cui sono prive.

L'ipotesi con cui ci sentiamo istintivamente più confidenti per via del nostro retaggio culturale è quella dell'esistenza di una "legge del clima" profonda e complessa che sfugge alla nostra comprensione: una nuova legge della natura, le cui equazioni sono alla nostra portata, che tuttavia è ancora intangibile a causa delle limitatezza e imperfezione dei nostri strumenti e della nostra conoscenza scientifica. Qualcosa insomma che appartiene all'insieme delle scoperte scientifiche che certamente si faranno nel (prossimo) futuro.
Perfino in questa cornice, però, dobbiamo pensare che il clima potrebbe essere espressione di un sistema complesso e caotico, il cui spazio di stato è finito ma diviso in più bacini di attrazione frattali o "bucherellati" (riddled), ognuno dei quali afferisce ad un attrattore dinamico diverso dagli altri del sistema. Ne basterebbe uno per far sì che questo sistema esibisse una dinamica assolutamente incomprensibile ai nostri occhi, apparentemente casuale. Con un secondo attrattore ecco che vedremmo dei fenomeni che saltano da una dinamica ad un'altra completamente diversa per una piccola perturbazione, talmente diversa dalla fenomenologia cui siamo abituati da apparirci un cambiamento catastrofico. Questo tipo di dinamica ipotetica è del tutto in linea con quella comune delle cronache dei nostri giorni, sia se si parla di cambiamenti cosiddetti repentini (un uragano, un'alluvione) sia se si parla di cambiamenti a lungo termine (es. global warming).
Questa idea non è neanche una vera ipotesi, tuttavia non può neanche essere esclusa allo stato attuale delle conoscenze sul clima del pianeta. Forse le attività antropiche, giustamente al banco degli imputati, potrebbero avere operato quella perturbazione che adesso sta spostando la dinamica del clima verso un nuovo attrattore.
Ma, ovviamente, perfino questo scenario potrebbe essere ancora irrealisticamente semplice per il sistema dinamico clima terreste: tanto vale allora, in questa situazione di totale incertezza, non operarla proprio una tale perturbazione o correggerla al più presto, perché il nuovo attrattore potrebbe essere assai meno confortevole del vecchio. Su questo punto dovremmo essere tutti d'accordo, compresi IPCC e prof. Visconti.
Quella di comprendere a tal punto la dinamica del clima da poterla controllare, e quindi di adattare artificialmente il clima terrestre alle emissioni antropiche è una via molto pericolosa da seguire visto l'esito così tanto incerto. Bisogna accettare l'ipotesi che non avremo mai un controllo sufficiente su sistemi talmente complessi e assolutamente imprevedibili sulle grandi come sulle piccole scale spaziali e temporali: questo è sicuramente l'approccio più scientificamente sensato.

Strane attrazioni.

Il modo più usato per rappresentare graficamente l'evoluzione di un sistema dinamico è quello di disegnarne la traiettoria nello spazio delle fasi: uno spazio avente tante dimensioni quante sono le variabili di stato (o anche i gradi di libertà) del sistema. Ogni punto di questo spazio rappresenta uno stato ben specifico in cui il sistema stesso si può venire a trovare. Se prendiamo l'esempio del pendolo lo spazio delle fasi potrebbe essere costituito dal piano cartesiano individuato dalle due variabili: angolo rispetto alla verticale e velocità angolare del pendolo.
Non tutti gli infiniti punti dello spazio delle fasi (anche detto spazio dello stato) sono punti possibili per il sistema: anzi la gran parte di essi sono punti impossibili e il sistema non si troverà mai in quegli stati specifici. Matematicamente questo vuol dire che quei punti (intesi come combinazione di variabili di stato) non costituiscono una soluzione del sistema di equazioni differenziali che regge la dinamica.
Se consideriamo l'insieme dei punti possibili del sistema ordinato cronologicamente troveremo che esso disegna una traiettoria nello spazio delle fasi, un po' come se seguissimo il volo di una mosca. Lo studio di queste traiettorie dice moltissimo sui sistemi.
In generale lo sviluppo di una traiettoria dipende dalle stato di partenza, cioè dalle condizioni iniziali.
Lasciato evolvere un sistema normalmente esibisce una dinamica di breve termine, temporanea, detta transitoria, ed una dinamica di lungo termine, detta di regime. Questo regime può essere uno stato nullo (pensiamo ad una molla che si scarica, o ad un pendolo al termine delle oscillazioni se non riceve ulteriori spinte) oppure uno stato stazionario. La corrente in un trasformatore è periodica per un tempo indefinito.
Lo stato stazionario che interessa noi è quello caotico. In questo caso, a condizioni iniziali diverse corrispondono traiettorie diverse, che non si sovrappongono mai e non attraversano mai lo stesso punto. Le traiettorie caotiche sono quindi uno svolgersi infinito di una curva nello spazio delle fasi che non si ripete mai due volte uguale neanche per un tratto piccolissimo.
Dovessimo disegnarla, vedremmo che questa curva non si interseca mai. Se ci pensate, questo fatto è in stretta relazione con l'impredicibilità del caos: nel momento in cui dovesse verificarsi una sovrapposione ecco che avremmo un periodo, perchè da quelo momento in poi la curva riprenderebbe a ripetere sè stessa, dando luogo ad un regime periodico che consente facili predizioni della dinamica.
La bizzarra figura geometrica disegnata da questa traiettoria è chiamata attrattore strano: il nome tradisce la sorpresa di quelli che vedendolo per la prima volta non seppero a quale categoria ricondurre quella dinamica ricca e così la battezzarono. L'insieme di tutti gli stati da cui si sviluppano traiettorie che evolveranno con questa curiosa geometria è chiamato bacino di attrazione dell'attrattore.
Uno stesso sistema caotico può esibire più di un attrattore strano, con bacini di attrazione difficilmente distinguibili uno dall'altro o perfino sovrapposti - ad esempio bacini di attrazione bucherellati, o "riddled basins" in inglese, oppure i bacini di attrazione frattali.
In questi casi, un sistema dinamico a regime potrebbe saltare da un attrattore ad un altro a seconda delle perturbazioni che subisce da agenti esterni. Credo di non riuscire con le parole a rendere neanche un po' la complessità che può emergere da un caso del genere.
Eppure la questione non è puramente teorica, ma molto reale, e riguarda il mondo in cui viviamo parecchio da vicino. Un esempio potrebbe forse essere il clima, che così frequentemente merita l'onore delle cronache in questi anni.

Cosa è il caos?

Sentiamo spesso dire che il caos deterministico è stato riscontrato in questo o quel fenomeno naturale ormai da più di 20 anni, da quando cioè quasi all'improvviso abbiamo aperto gli occhi su una realtà che avevamo deciso di non osservare, quella dei fenomeni reali non lineari (cioè di quasi tutti i fenomeni reali tout court).
Personalmente uno dei riscontri che mi ha più impressionato è quello del caos nel battito cardiaco umano: in un individuo sano la dinamica del battito cardiaco misurabile con un elettrocardiogramma è caotica, mentra una dinamica regolare è spesso sintomo di una patologia. Anche l'elettroencefalogramma di una persona sana ha dimostrato i tratti caratteristici ed inequivocabili del caos.
Ma cosa vuol dire che si è riscontrato il caos in un fenomeno naturale? Come si stabilisce che un sistema naturale è caotico?
Se di un sistema conosciamo le equazioni allora ci vengono in soccorso gli strumenti dell'analisi matematica, la simulazione al computer che ci permette di studiare come varia il comportamento del sistema al variare dei suoi parametri.
L'insorgenza del caos è sempre preceduta da fenomeni matematici ben individuabili, dei punti di passaggio da comportamenti regolari a comportamenti man mano più articolati: mi riferisco ad esempio al raddoppio di periodo che si succede ad intervalli determinabili e che alla fine sfocia nel caos vero e proprio. Questi percorsi possono essere visualizzati nei diagrammi di biforcazione.
Una caratteristica universale del caos è che il rapporto di convergenza nella sequenza di biforcazioni (la cosiddetta rotta per il caos) che si osserva al variare di un parametro, è quasi costante ed è costante all'infinito. Questo rapporto prende il nome di delta di Feigenbaum, e ci permette di sapere con precisione quando si verificherà la prossima biforcazione in un sistema che evolve verso il caos. Quindi, se osserviamo un rapporto costante e prossimo al delta di Feigenbaum negli intervalli tra una biforcazione e l'altra di una dinamica, abbiamo un indizio importante che quel sistema abbia le caratteristiche del caos in sè e stia evolvendo verso una dinamica caotica per il variare di un suo parametro strutturale (ad esempio la tensione ai capi di un diodo).
Il calcolo dei cosiddetti esponenti di Lyapunov consente di affermare che due traiettorie di stato "vicine" del sistema divergono in media: la conseguenza matematica di questo fatto è la caoticità del sistema (definito dai suoi parametri - per altri parametri lo stesso sistema potrebbe non essere caotico). Questo è naturalmente possibile soltanto se si conoscono le equazioni del sistema, nel qual caso si perviene agli esponenti di Lyapunov per via matematica.
Se invece non conosciamo le equazioni del sistema, allora dobbiamo procedere ad una misurazione della sua dinamica appropriandoci di una serie storica di campioni sufficientemente lunga. Su questa serie misurata possiamo stimare alcuni parametri quantitativi: ancora i coefficienti di Lyapunov, oppure l'entropia di Kolmogorov, o la dimensione frattale, o ancora la dimensione della correlazione. Questi parametri possono dirci se siamo in presenza di caos.
Il caos quindi ha delle tracce ben individuabili, e le sue tracce sono state scoperte in innumerevoli sistemi naturali, sia viventi sia non.

Inversione del campo magnetico terrestre.

Il nostro pianeta possiede un campo magnetico proprio assimilabile a quello di un dipolo magnetico con poli non statici e discostati dai poli geografici di circa 11°.
Il campo magnetico terrestre - o campo geomagnetico - è responsabile della cosiddetta magnetosfera, una sorta di "scudo" magnetico terrestre che si estende nello spazio per diverse decine di migliaia di chilometri e che ha importanti effetti per la sottostante biosfera: ad esempio protegge la Terra dai raggi cosmici e dal vento solare.
Questo campo è oggetto di osservazione da parte dell'uomo solo da pochi secoli, e di misurazione soltanto da qualche decennio. Di esso si sa con certezza che la sua intensità magnetica è variante nel tempo e non-stazionaria, ovvero aperiodica. Wikipedia offre una sintetica ed efficace panoramica sul tema alla voce campo geomagnetico.
Si sa inoltre che questo campo si è spesso invertito nella storia del pianeta, con scambio tra i poli magnetici Nord e Sud. La ragione dell'inversione del campo è ancora incompresa, gli scienziati dibattono vivacemente intorno ad alcune teorie, nessuna delle quali ha ancora trovato un riscontro definitivo. Sono incerti anche gli effetti dell'inversione magnetica per quanto riguarda la vita sulla Terra, anche se non ci sono traccia di estinzioni di massa causate da questi cambiamenti.
C'è un'interessante interpretazione in chiave caotica...

Una di queste teorie si basa sulla descrizione del sistema magnetico terrestre come una grande dinamo (geodinamo in breve), in cui la corrente elettrica è generata dai moti convettivi delle masse fluide che avvolgono in nucleo solido del pianeta - entrambe con grandi contenuti di ferro - e dalle forze di Coriolis legate al movimento del pianeta. La dinamica del campo è quindi effetto della fluido-termodinamica delle masse interne del nostro pianeta che, appunto, si comporta come una dinamo. Un modello ispirato a questa ipotesi - ovviamente deterministico - è stato simulato numericamente su un arco di 300.000 anni ai laboratori americani di Los Alamos con passi di 15 giorni, e la simulazione è accuratamente descritta qui.
Sebbene alcuni ritengano che questo processo sia espressione di un sistema dinamico di ordine elevato (cioè costituito da innumerevoli variabili dinamiche) e perciò randomico, altri vedono in questa dinamica le impronte digitali del caos.
Equivarrebbe a dire che il campo magnetico terrestre deve le sue aperiodiche inversioni di polarità al caos deterministico: le inversioni si ripeteranno ancora ed ancora, non per effetto di cause esterne (es. meteoriti) ma per la dinamica nonlineare intrinseca del pianeta.
La conferma è difficile, dato che a prima vista il caos sembra rumore, sembra cioè generato da un processo stocastico piuttosto che da un sistema deterministico. Io non sarei molto sorpreso che la "via caotica" fosse quella giusta, tuttavia allo stato attuale si può dimostrare la caoticità di una dinamica soltanto per sistemi di ordine ridotto, cioè rappresentabili con poche variabili di stato.

Alcuni risvolti filosofici a proposito di caos.

Pierre Simon Laplace è stato uno dei matematici che maggiormente hanno influito sul pensiero occidentale. Egli è stato probabilmente il sommo rappresentante del determinismo scientifico.
Immagino che ormai tanti di noi si sono resi conto quanto in profondità il pensiero deterministico - nato in seno alla scienza ed alla matematica classica post-newtoniana - è penetrato nella nostra civiltà, nel nostro modo di pensare e di sentire.
Scriveva nel 1812:

"Immaginiamo un'Intelligenza che dovesse conoscere ad un certo istante di tempo tutte le forze che agiscono in natura e la posizione di tutte le cose di cui il mondo è fatto; assumiamo, inoltre, che questa Intelligenza sia capace di sottoporre tutti questi dati all'analisi matematica. In tal caso essa potrebbe derivare un risultato che comprenderebbe in un'unica formula il moto dei più grandi corpi dell'universo e degli atomi più piccoli. Niente sarebbe incerto per questa Intelligenza. Il passato ed il futuro sarebbero presenti ai suoi occhi."

P.S. Laplace - Teoria della Probabilità.

Guardandosi indietro non è difficile osservare che, a partire dalla fine dell '800 e per tutto il XX secolo, la percezione comune del futuro collettivo e individuale è stata spesso contrassegnata da un'aura di ineluttabilità, di predeterminazione (scriptum est): il futuro visto come qualcosa che muove da uno stato perfettamente definito da una causa prima verso una destinazione altrettanto perfettamente determinata a priori. La causalità scientifica si è scontrata con la finalità religiosa, sopraffacendola.
Molte scoperte scientifiche sembravano corroborare quella conclusione (almeno fino all'avvento della meccanica quantistica con il suo portfolio di probabilità e indeterminazione che pochissimi tuttavia riuscivano, e riescono, a comprendere appieno), con il risultato che - se anche non consapevolmente, almeno inconsciamente - pochi ne hanno più dubitato.
Sarebbe interessante sviluppare il tema delle ricadute politiche, sociali e culturali di questa tendenza del secolo appena passato, che ancora caratterizza il nostro modo di pensare e di agire.

La visione deterministica che non lascia scampo al libero arbitrio viene scompaginata sul finire del secolo scorso dall'irrompere nel panorama scientifico di sistemi semplici e soprattutto deterministici - quelli caotici - che però mostrano un comportamento del tutto impredicibile anche da un'Intelligenza, quale quella immaginata da Laplace, che avesse a disposizione tutti i dati fisici dell'universo ad un qualunque istante. Questa Intelligenza, se pure conoscesse tali dati con precisione infinita, ancora non potrebbe avere tutto il futuro e tutto il passato davanti agli occhi, perché non potrebbe risolvere in forma chiusa i sistemi di equazioni differenziali che reggono un sistema caotico.
Esistono cioè sistemi deterministici che esibiscono un comportamento impredicibile, o indeterminabile: quello che suona un ossimoro è in realtà sostenuto dalla matematica.

"Quindi, perfino Dio deve lasciare che [la dinamica di] questi sistemi caotici evolva per vedere cosa accadrà nel futuro. Non vi è nessuna scorciatoia per la predizione per i sistemi caotici."

Robert C. Hilborn - Chaos and Nonlinear Dynamics.

La nuova scienza del caos.

A partire dagli anni '60 in poi, con alterne vicende e grandi dosi di scetticismo da parte della scienza cosiddetta "ufficiale", quando non proprio un'aperta ostilità, il caos deterministico è stato osservato in una grande quantità di sistemi dinamici. Per chi volesse ripercorrere l'avventura dell'affermazione delle idee e dei principi legati al caos una lettura davvero interessante e ben scritta è Caos - La nascita di una nuova scienza di James Gleick, dal quale ho preso la seguente citazione:

Dove comincia il caos si arresta la scienza classica. Finché il mondo ha avuto fisici che investigavano le leggi della natura [la scienza classica] ha infatti sofferto di una speciale ignoranza sul disordine presente nell'atmosfera, nel mare turbolento, nelle fluttuazioni delle popolazioni di animali e piante allo stato di natura, nelle oscillazioni del cuore e del cervello. L'aspetto irregolare della natura, il suo lato discontinuo e incostante, per la scienza sono stati dei veri rompicapo o peggio mostruosità.

Il sito ufficiale di Gleick è un altro buon punto di partenza per approfondimenti e letture legate al caos.
L'effetto farfalla di Lorenz ha ispirato una nuova generazione di fisici e di scienziati di altre discipline verso nuove strade nell'esplorazione della natura. Da allora ad oggi, nonostante gli enormi passi, manca ancora una comprensione profonda del fenomeno, di cui però non si trascura più la portata in termini epistemologici.
Anche dal punto di vista matematico non è ancora compreso il problema di fondo. Perfino la definizione di caos non è ancora matura, sebbene esistano dei metodi per poter giudicare se un comportamento dinamico può dirsi caotico oppure no: si tratta di misure di certi parametri dinamici che possono poi essere usati per classificare un sistema.
Si sono anche individuati dei comportamenti dinamici di transizione, cioè il cosiddetto percorso verso il caos (raddoppio del periodo e biforcazione): sono anche queste delle tracce del caos, che ci aiutano a stabilire quando un sistema deterministico si sta spostando verso una dinamica caotica.
Sono anche state individuate molte proprietà del caos - una fra tutte: l'invarianza di scala, l'autosomiglianza del caos -, ed è stato possibile attribuire ad esso caratteristiche di universalità, nella la forma delle classi di universalità legate ai numeri di Feigenbaum. La scoperta di quest'ultima proprietà ha del rivoluzionario se pensiamo al fatto che le stesse caratteristiche dinamiche sono valide per sistemi in natura che apparentemente non hanno niente in comune tra loro, come un diodo, un fluido, una galassia ed un ecosistema. Certe caratteristiche, cioè, non sono specifiche di un determinato sistema reale, ma denunciano una qualche proprietà universale della natura.
L'attrattore strano è probabilmente l'impronta digitale del caos, non fosse altro che perché esso fornisce una rappresentazione dinamica intuitiva. Il primo attrattore strano che è stato disegnato è quello di Lorenz, ma ormai ne esistono centinaia, tutti diversi uno dall'altro ma tutti aventi in comune le proprietà del caos.

La relatività eliminò l'illusione newtoniana dello spazio e tempo assoluti; la teoria quantistica eliminò il sogno newtoniano di un processo di misurazione controllabile; e il caos elimina la fantasia laplaciana della prevedibilità deterministica.
Joseph Ford - What is chaos, that we should be mindul of it?

La farfalla di Lorenz.

Era il 1960 quando Edward Lorenz elaborò un modello per la previsione delle condizioni meteorologiche a prima vista piuttosto semplice. Tale deve essere sembrato anche a lui.
Il modello poteva essere scritto come un sistema di equazioni differenziali non lineari, tutto sommato semplice, del quale però non si riusciva a trovare una soluzione in forma chiusa. In altre parole non era possibile integrare le equazioni differenziali, in modo da esplicitare la dipendenza dal tempo delle tre variabili.
Questa esplicitazione avrebbe permesso di ricavare ciascuna delle tre variabili come funzione del tempo (es. y = f(t) ) - cosa che equivale a risolvere in forma chiusa il sistema, come amano dire i matematici, e che avrebbe permesso di ricavare una previsione puntuale delle condizioni atmosferiche, o almeno una previsione compatibile con le assunzioni fatte da Lorenz per elaborare il suo modello.
Questa impostazione era perfettamente compatibile con il pensiero fisico dominante per quasi tutto il secolo scorso, secondo cui tutte le fenomenologie possono essere ricondotte nell'alveo del determinismo matematico, dato che la realtà osservabile è espressione di una qualche forma di stabilità del sistema osservato. E chiedo venia per l'estrema sintesi di questi concetti.
Pur non essendo risolvibile in forma chiusa, il sistema elaborato da Lorenz può essere risolto numericamente, con l'ausilio del calcolatore. La rappresentazione geometrica - nello spazio delle fasi - delle traiettorie di stato che emerge da queste simulazioni è sorprendente, e costituisce oggi il più famoso esempio di sistema caotico. Le traiettorie non si ripetono mai, non se ne troveranno mai due che si sovrappongono.
Il sistema è imprevedibile, dato che non se ne possono scrivere le funzioni integrali, ed è tuttavia stabile e presenta una certa regolarità. Un ordine nascosto, impossibile da immaginare a priori.
Il sistema è sensibilissimo alle condizioni iniziali: la più piccola variazione di queste può dare luogo ad una evoluzione dinamica completamente diversa da quella che si avrebbe se la variazione non ci fosse stata.
Da qui la celebre riflessione di Edward Lorenz:

può il battito d'ali di una farfalla in Brasile generare un uragano in Texas?

(dal titolo di una lettura tenuta dallo scienziato nel dicembre 1972 a Washington - cfr. R. Hilborn - Chaos and Nonlinear Dynamics - pag. 38).

La ricchezza della dinamica che si nasconde dietro quelle tre semplici equazioni è incredibilmente vasta.