Alcuni risvolti filosofici a proposito di caos.

Pierre Simon Laplace è stato uno dei matematici che maggiormente hanno influito sul pensiero occidentale. Egli è stato probabilmente il sommo rappresentante del determinismo scientifico.
Immagino che ormai tanti di noi si sono resi conto quanto in profondità il pensiero deterministico - nato in seno alla scienza ed alla matematica classica post-newtoniana - è penetrato nella nostra civiltà, nel nostro modo di pensare e di sentire.
Scriveva nel 1812:

"Immaginiamo un'Intelligenza che dovesse conoscere ad un certo istante di tempo tutte le forze che agiscono in natura e la posizione di tutte le cose di cui il mondo è fatto; assumiamo, inoltre, che questa Intelligenza sia capace di sottoporre tutti questi dati all'analisi matematica. In tal caso essa potrebbe derivare un risultato che comprenderebbe in un'unica formula il moto dei più grandi corpi dell'universo e degli atomi più piccoli. Niente sarebbe incerto per questa Intelligenza. Il passato ed il futuro sarebbero presenti ai suoi occhi."

P.S. Laplace - Teoria della Probabilità.

Guardandosi indietro non è difficile osservare che, a partire dalla fine dell '800 e per tutto il XX secolo, la percezione comune del futuro collettivo e individuale è stata spesso contrassegnata da un'aura di ineluttabilità, di predeterminazione (scriptum est): il futuro visto come qualcosa che muove da uno stato perfettamente definito da una causa prima verso una destinazione altrettanto perfettamente determinata a priori. La causalità scientifica si è scontrata con la finalità religiosa, sopraffacendola.
Molte scoperte scientifiche sembravano corroborare quella conclusione (almeno fino all'avvento della meccanica quantistica con il suo portfolio di probabilità e indeterminazione che pochissimi tuttavia riuscivano, e riescono, a comprendere appieno), con il risultato che - se anche non consapevolmente, almeno inconsciamente - pochi ne hanno più dubitato.
Sarebbe interessante sviluppare il tema delle ricadute politiche, sociali e culturali di questa tendenza del secolo appena passato, che ancora caratterizza il nostro modo di pensare e di agire.

La visione deterministica che non lascia scampo al libero arbitrio viene scompaginata sul finire del secolo scorso dall'irrompere nel panorama scientifico di sistemi semplici e soprattutto deterministici - quelli caotici - che però mostrano un comportamento del tutto impredicibile anche da un'Intelligenza, quale quella immaginata da Laplace, che avesse a disposizione tutti i dati fisici dell'universo ad un qualunque istante. Questa Intelligenza, se pure conoscesse tali dati con precisione infinita, ancora non potrebbe avere tutto il futuro e tutto il passato davanti agli occhi, perché non potrebbe risolvere in forma chiusa i sistemi di equazioni differenziali che reggono un sistema caotico.
Esistono cioè sistemi deterministici che esibiscono un comportamento impredicibile, o indeterminabile: quello che suona un ossimoro è in realtà sostenuto dalla matematica.

"Quindi, perfino Dio deve lasciare che [la dinamica di] questi sistemi caotici evolva per vedere cosa accadrà nel futuro. Non vi è nessuna scorciatoia per la predizione per i sistemi caotici."

Robert C. Hilborn - Chaos and Nonlinear Dynamics.

La nuova scienza del caos.

A partire dagli anni '60 in poi, con alterne vicende e grandi dosi di scetticismo da parte della scienza cosiddetta "ufficiale", quando non proprio un'aperta ostilità, il caos deterministico è stato osservato in una grande quantità di sistemi dinamici. Per chi volesse ripercorrere l'avventura dell'affermazione delle idee e dei principi legati al caos una lettura davvero interessante e ben scritta è Caos - La nascita di una nuova scienza di James Gleick, dal quale ho preso la seguente citazione:

Dove comincia il caos si arresta la scienza classica. Finché il mondo ha avuto fisici che investigavano le leggi della natura [la scienza classica] ha infatti sofferto di una speciale ignoranza sul disordine presente nell'atmosfera, nel mare turbolento, nelle fluttuazioni delle popolazioni di animali e piante allo stato di natura, nelle oscillazioni del cuore e del cervello. L'aspetto irregolare della natura, il suo lato discontinuo e incostante, per la scienza sono stati dei veri rompicapo o peggio mostruosità.

Il sito ufficiale di Gleick è un altro buon punto di partenza per approfondimenti e letture legate al caos.
L'effetto farfalla di Lorenz ha ispirato una nuova generazione di fisici e di scienziati di altre discipline verso nuove strade nell'esplorazione della natura. Da allora ad oggi, nonostante gli enormi passi, manca ancora una comprensione profonda del fenomeno, di cui però non si trascura più la portata in termini epistemologici.
Anche dal punto di vista matematico non è ancora compreso il problema di fondo. Perfino la definizione di caos non è ancora matura, sebbene esistano dei metodi per poter giudicare se un comportamento dinamico può dirsi caotico oppure no: si tratta di misure di certi parametri dinamici che possono poi essere usati per classificare un sistema.
Si sono anche individuati dei comportamenti dinamici di transizione, cioè il cosiddetto percorso verso il caos (raddoppio del periodo e biforcazione): sono anche queste delle tracce del caos, che ci aiutano a stabilire quando un sistema deterministico si sta spostando verso una dinamica caotica.
Sono anche state individuate molte proprietà del caos - una fra tutte: l'invarianza di scala, l'autosomiglianza del caos -, ed è stato possibile attribuire ad esso caratteristiche di universalità, nella la forma delle classi di universalità legate ai numeri di Feigenbaum. La scoperta di quest'ultima proprietà ha del rivoluzionario se pensiamo al fatto che le stesse caratteristiche dinamiche sono valide per sistemi in natura che apparentemente non hanno niente in comune tra loro, come un diodo, un fluido, una galassia ed un ecosistema. Certe caratteristiche, cioè, non sono specifiche di un determinato sistema reale, ma denunciano una qualche proprietà universale della natura.
L'attrattore strano è probabilmente l'impronta digitale del caos, non fosse altro che perché esso fornisce una rappresentazione dinamica intuitiva. Il primo attrattore strano che è stato disegnato è quello di Lorenz, ma ormai ne esistono centinaia, tutti diversi uno dall'altro ma tutti aventi in comune le proprietà del caos.

La relatività eliminò l'illusione newtoniana dello spazio e tempo assoluti; la teoria quantistica eliminò il sogno newtoniano di un processo di misurazione controllabile; e il caos elimina la fantasia laplaciana della prevedibilità deterministica.
Joseph Ford - What is chaos, that we should be mindul of it?

La farfalla di Lorenz.

Era il 1960 quando Edward Lorenz elaborò un modello per la previsione delle condizioni meteorologiche a prima vista piuttosto semplice. Tale deve essere sembrato anche a lui.
Il modello poteva essere scritto come un sistema di equazioni differenziali non lineari, tutto sommato semplice, del quale però non si riusciva a trovare una soluzione in forma chiusa. In altre parole non era possibile integrare le equazioni differenziali, in modo da esplicitare la dipendenza dal tempo delle tre variabili.
Questa esplicitazione avrebbe permesso di ricavare ciascuna delle tre variabili come funzione del tempo (es. y = f(t) ) - cosa che equivale a risolvere in forma chiusa il sistema, come amano dire i matematici, e che avrebbe permesso di ricavare una previsione puntuale delle condizioni atmosferiche, o almeno una previsione compatibile con le assunzioni fatte da Lorenz per elaborare il suo modello.
Questa impostazione era perfettamente compatibile con il pensiero fisico dominante per quasi tutto il secolo scorso, secondo cui tutte le fenomenologie possono essere ricondotte nell'alveo del determinismo matematico, dato che la realtà osservabile è espressione di una qualche forma di stabilità del sistema osservato. E chiedo venia per l'estrema sintesi di questi concetti.
Pur non essendo risolvibile in forma chiusa, il sistema elaborato da Lorenz può essere risolto numericamente, con l'ausilio del calcolatore. La rappresentazione geometrica - nello spazio delle fasi - delle traiettorie di stato che emerge da queste simulazioni è sorprendente, e costituisce oggi il più famoso esempio di sistema caotico. Le traiettorie non si ripetono mai, non se ne troveranno mai due che si sovrappongono.
Il sistema è imprevedibile, dato che non se ne possono scrivere le funzioni integrali, ed è tuttavia stabile e presenta una certa regolarità. Un ordine nascosto, impossibile da immaginare a priori.
Il sistema è sensibilissimo alle condizioni iniziali: la più piccola variazione di queste può dare luogo ad una evoluzione dinamica completamente diversa da quella che si avrebbe se la variazione non ci fosse stata.
Da qui la celebre riflessione di Edward Lorenz:

può il battito d'ali di una farfalla in Brasile generare un uragano in Texas?

(dal titolo di una lettura tenuta dallo scienziato nel dicembre 1972 a Washington - cfr. R. Hilborn - Chaos and Nonlinear Dynamics - pag. 38).

La ricchezza della dinamica che si nasconde dietro quelle tre semplici equazioni è incredibilmente vasta.

La "semplicità" del pendolo.

Chiunque abbia fatto un corso di fisica alle scuole superiori si è imbattuto nel cosiddetto "pendolo semplice", uno degli esempi di uso più comune nella didattica.
Noto fin dall'antichità, esso ha ispirato le fondamentali intuizioni di Galileo Galilei che poi portarono il grande uomo alla formulazione della proprietà dell'isocronismo, e aprirono la strada ai concetti di moto e quantità di moto che stanno alla base della meccanica classica.
A parte queste note storiche, fin dal nostro primo incontro con il pendolo ciò che ce ne rimane in testa maggiormente è la sua "semplicità": il moto del pendolo è descrivibile con una semplice equazione. A seconda di determinate condizioni iniziali - angolo, massa, lunghezza - si riesce a descrivere tutto il futuro del comportamento del pendolo senza possibilità di errore. Il comportamento è periodico nel tempo a condizione di trascurare alcune forze che non hanno un'attinenza diretta con il meccanismo, seppure siano ineluttabili in un pendolo reale: attrito e resistenza dell'aria.
E' tuttavia possibile includere queste componenti nell'equazione del moto del pendolo, che da ideale e lineare diventa così reale (almeno un po' di più, visto che si considera comunque tutta la massa come puntiforme e concentrata nel vertice inferiore dell'asta) e non-lineare. L'equazione è significativamente modificata, ma a prima vista non si potrebbe dire che gli effetti possono sconvolgere la nostra prima comprensione del pendolo: esso dovrebbe rimanere un sistema semplice e assolutamente prevedibile.
Vi invito a fare un'esperienza diretta del pendolo siffatto giocando col simulatore disponibile nel sito web MyPhysicLab.com.
A seconda della scelta dei parametri del sistema il comportamento del pendolo, pur restando assolutamente deterministico, diventa assai simile ad un comportamento totalmente casuale. Si tratta di una dinamica caotica, in cui non è possibile predire le condizioni cinematiche del sistema (es. velocità, posizione, accelerazione) pure nel caso in cui siano ben note le condizioni iniziali.
Questo aspetto fa apparentemente a pugni con la natura deterministica del pendolo.
Se si osservano le traiettorie delle variabili di stato del sistema si vede bene che esse non si ripetono mai: ciò può essere matematicamente dimostrato. Non vi è periodicità nelle oscillazioni del pendolo. Le traiettorie sono destinate a non sovrapporsi mai, infinitamente. Le variabili di stato non sono più condannate a ripetere sempre gli stessi percorsi, ma libere di fare esperienza di un'infinita varietà di traiettorie possibili all'interno dello spazio di stato. Il pendolo, da semplice, è diventato qualcosa di decisamente più complesso.

Complessità.

Da oggi inizia una serie di approfondimenti sulla scienza della complessità. Sarebbe meglio dire "le" scienze.
Perché la complessità è un concetto che ancora sfugge ad una definizione precisa, ma che sicuramente si può inscrivere nel più grande cerchio delle conoscenze scientifiche dell'uomo, in cui ha una collocazione trasversale dal momento che ha interessato svariati campi del sapere: dalla matematica alla biologia, dalla sociologia alla fisica, dalla cosmologia alla intelligenza artificiale, dall'informatica all'etologia.
La mia impressione è che questa nuova visione delle cose, nata come una serie di percorsi individuali con nessuna attinenza tra loro, poi sviluppatasi all'interno di diverse discipline ma ancora in modo scollegato, diventerà presto la via maestra per la comprensione della natura, nel senso più ampio oggi possibile per l'umanità rimanendo nell'ambito della conoscenza cosiddetta scientifica.
L'attributo della complessità si può riconoscere in un qualunque sistema in cui si possa riscontrare che l'insieme è organizzativamente superiore alla somma delle sue parti.
Esasperando questo concetto si deve ammettere che qualunque sistema, in quanto tale, è complesso. Un oscillatore del secondo ordine è anch'esso complesso, perché la sua dinamica è inaccessibile ad una sua componente svincolata dall'insieme. Quindi si può dire che ogni sistema è caratterizzato da un grado di complessità.
Per quanto la scienza del XX secolo abbia rappresentato un incredibile passo in avanti per l'uomo nella comprensione della natura, essa è rimasta legata ad una rappresentazione quasi sempre lineare dei sistemi - quali che essi fossero -: sistemi in equilibrio, perché l'assunto fondamentale è stato quello di pensare l'universo come un enorme sistema in condizioni dinamiche stazionarie; e sistemi chiusi, in cui le influenze di altri sistemi - anch'essi rigidamente chiusi - erano trascurate perché considerate di scarsa rilevanza.
Questi limiti fondamentali (sistemi chiusi, in condizioni di equilibrio o molto prossimi all'equilibrio, lineari o - frequentemente - "linearizzati" per trascurare fenomeni di ordine superiore ritenuti poco significativi) hanno posto una serissima tara al metodo scientifico, privandoci spesso della possibilità di cogliere e investigare tutta la varietà e la ricchezza che si nasconde dietro la non-linearità e il non-equilibrio.
More to come.